Кълбо вписано в правилна четириъгълна пирамида

[Mr.G{}{}Fy]

В правилна четириъгълна пирамида е вписано кълбо с радиус [tex]r[/tex] и ъгълът между две съседни околни стени на пирамидата е [tex]2\alpha[/tex] . Намерете обема на друга пирамидата,чийто връх е център на кълбото,а върховете на основата са допирните точки на кълбото с околните стени на дадената пирамида.
Задачата може да се реши като чрез дадените работи изразим например височината на дадената пирамида и основният и ръб и след това намерим обема на малката пирамида,но по този начин ще стане нещо изключително хамалско.Някой може ли даде нещо елегантно?

[Xixibg]

Не е нужно да изразяваш страната и височината на дадената пирамида.Може направо да изразиш страната и височината на търсената.Пак е малка хамалогия ама .......Ако ги означим с [tex]b[/tex] и [tex]h[/tex] би трябвало да получим [tex]b=2rcos \alpha[/tex](Косинусова теорема) и [tex]h=r\sqrt{1-2cos^2\alpha}[/tex](Питагорова теорема)

П.П. Не съм сигурен в сметките.

[Mr.G{}{}Fy]

Естествено!Ъгълът между две равнини е равен на [tex]180^\circ[/tex] - ъгълът между техни перпендикулярни прави.