конус и цилиндър

[Гост]

в прав кръгов конус r=4 i h=6 е вписан цилиндър с възможно най- голям обем. колко е h на цилиндъра

[Добромир Глухаров]

Нека [tex]r[/tex] е радиусът на цилиндъра, а [tex]x[/tex] - неговата височина, която търсим. В осното сечение от подобие на триъгълници получаваме [tex]\frac{6}{6-x}=\frac{4}{r}\Rightarrow r=\frac{2}{3}(6-x)[/tex]

[tex]V=\frac{1}{3}\pi r^2.x=\frac{2\pi}{27}.2x.(6-x)^2[/tex]

[tex]2x+(6-x)+(6-x)=12\Rightarrow V\le \frac{2\pi}{27}.2x_0.(6-x_0)^2=\frac{2\pi}{27}.\(\frac{12}{3}\)^3[/tex] - от СГ[tex]\le[/tex]СА

[tex]2x_0=6-x_0\Rightarrow x_0=2[/tex]

[tex]V_{max}=V_{x=2}=\frac{2\pi}{27}.4^3=\frac{128}{27}\pi[/tex]

Този най-голям обем се достига при [tex]h=x_0=2[/tex].

[Добромир Глухаров]

Нека [tex]r[/tex] е радиусът на цилиндъра, а [tex]x[/tex] - неговата височина, която търсим. В осното сечение от подобие на триъгълници получаваме [tex]\frac{6}{6-x}=\frac{4}{r}\Rightarrow r=\frac{2}{3}(6-x)[/tex]

[tex]V=\frac{1}{3}\pi r^2.x=\frac{2\pi}{27}.2x.(6-x)^2[/tex]

[tex]2x+(6-x)+(6-x)=12\Rightarrow V\le \frac{2\pi}{27}.2x_0.(6-x_0)^2=\frac{2\pi}{27}.\left(\frac{12}{3}\right)^3[/tex] - от СГ[tex]\le[/tex]СА

[tex]2x_0=6-x_0\Rightarrow x_0=2[/tex]

[tex]V_{max}=V_{x=2}=\frac{2\pi}{27}.4^3=\frac{128}{27}\pi[/tex]

Този най-голям обем се достига при [tex]h=x_0=2[/tex].