Задача с пресечена пирамида

[exoiavanko]

Здравейте, членове на този така полезен форум. Имам една огромна молба към компетентеите тук математици. Необходимо е да се реши само една от посочените тук задачи, с подробно решение. Много бих бил благодарен, ако някой се отзове!

[ammornil]

(Задача 2)
Лицата на основите на правилна четириъгълна пресечена пирамида са [tex]256cm^2[/tex] и [tex]900cm^2[/tex], а апотемата й е 25см. Намерете обема на пирамидата.

***ТЕОРИЯ***
За правилна четириъгълна пресечена пирамида с условини означения както следва (в скоби са дадени означения от приложения чертеж):
a- основен ръб на голямата основа ([tex]AB, BC, CD, AD[/tex]);
b- основен ръб на малката основа ([tex]A_1B_1, B_1C_1, C_1D_1, A_1D_1[/tex]);
l- околен ръб на пирамидата ([tex]AA_1, BB_1. CC_1, DD_1[/tex]);
k- височина на околна стена (апотема) ([tex]MM_1[/tex]);
H- височина на пирамидата ([tex]OO_1[/tex]);
B- лице на голямата основа;
B_1- лице на малката основа;
S- лице на околна повърхнина;
S_1- лице на пълна повърхнина;
V- обем на пресечената пирамида;
са в сила следните формули (твърдения):
[tex]l^2=H^2+\frac{(a-b)^2}{2} \\<br />l^2=k^2+\frac{(a-b)^2}{4} \\<br />k^2=H^2+\frac{(a-b)^2}{4} \\<br />B=a^2 \\<br />B_1=b^2 \\<br />S=2.(a+b).k \\<br />S_1=B+B_1+S=a^2+b^2+2.(a+b).k \\<br />V=\frac{H}{3}.(B+B_1+\sqrt{B.B_1})[/tex]
***

**РЕШЕНИЕ**
[tex]B_1=256 cm^2\\
B=900 cm^2 \\
k=25 cm \\
\vspace{10}\\
a=\sqrt{B}=\sqrt{900}=30cm \\
b=\sqrt{B_1}=\sqrt{256}=16 cm\\
\vspace{5}
k^2=H^2+\frac{(a-b)^2}{4} \hspace{12} \Leftrightarrow \hspace{12} H^2=k^2-\frac{(a-b)^2}{4} \\
H^2=25^2-\frac{(30-16)^2}{4}=625-49=576\\
H=\sqrt{576}=24 \\
\vspace{5}\\V=\frac{H}{3}.(B+B_1+\sqrt{B.B_1})=\frac{24}{3}.(900+256+\sqrt{900.256})=8.1636=13088 cm^3[/tex]

[ammornil]

(Задача 3)
Намерете околната и пълната повърхнина на правилна четириъгълна пресечена пирамида с лица на основите [tex]49cm^2[/tex] и [tex]4cm^2[/tex], и височина 6см.

РЕШЕНИЕ (за теория виж решението на зад 2)
[tex]\underline{\cyr{DADENO}}\\
B=49cm^2 \hspace{48} B_1=4cm^2 \hspace{48} H=6cm \\
---\\
S=?, S_1=? \\
\vspace{20}\\
a=\sqrt{B}=\sqrt{49}=7cm\\
b=\sqrt{B_1}=\sqrt{4}=2cm\\
k^2=H^2+\frac{(a-b)^2}{4}=6^2+\frac{(7-2)^2}{4}=36+\frac{25}{4}=\frac{169}{4} \\
k=\sqrt{\frac{169}{4}}=\frac{13}{2} cm \\
S=2.(a+b).k=2.(7+2).\frac{13}{2}=9.13=117 cm^2 \\
S_1=S+B+B_1=117+49+4=170 cm^2[/tex]

[ammornil]

(Задача 4)
Основните ръбове на правилна четириъгълна пресечена пирамида са 7см и 5 см, а диагоналът й е 9см. Намерете обема на пирамидата.

[tex]\underline{\cyr{DADENO}}\\
a=7 cm \hspace{48} b=5 cm \hspace{48} D=9cm\\
\vspace{20}[/tex]
На чприложените чертежи виждаме дадената пирамида и под нея изнесено едно диагонално сечение на пирамидата (в случая [tex]ACC_1A_1[/tex]).

[tex]\cyr{fig}ACC_1A_1 \hspace{4} \cyr{e ravnobedren trapets.} \hspace{4} \Rightarrow \hspace{12} \angle A_1AC=\angle C_1CA \\
\vspace{5}\\
\cyr{Postroyavame visochinite} \hspace{4} C_1M \bot AC, A_1N \bot AC.\\
\left, MN || A_1C_1 \\ A_1N || C_1M \\ A_1N \bot MN \right} \Rightarrow A_1NMC_1- \cyr{pravoygylnik} \Rightarrow MN=C_1A_1=5cm \\
\triangle ANA_1 \cyr{ednakyv na } \triangle CMC_1 \left{ AA_1=CC1 \\ NA_1=MC_1 \\ \angle ANA_1= \angle CMC_1 =90^\circ \right, \hspace{12} \Rightarrow AN=CM \\
AN+MN+CM=AC \hspace{12} \Rightarrow AN=CM=\frac{AC-MN}{2}=\frac{7-5}{2}=1cm \\
AM=AC-MC=7-1=6cm \\
AC_1=D=9cm \\
\triangle AMC_1 - \cyr{pravoygylen} \Rightarrow AC_1^2=C_1M^2+AM^2 \hspace{12}\Rightarrow \hspace{12} C_1M^2=AC_1^2-AM^2=9^2-6^2=45 \\
C_1M=3\sqrt{5} cm\\
\vspace{10}\\
M \hspace{4} \cyr{e ortogonalna proektsiya na } \hspace{4} C_1 \hspace{4} \cyr{v ravninata } \hspace{4} ABCD \\
\Rightarrow C_1M=H -\cyr{visochina na piramidata} \Rightarrow H=3\sqrt{5} cm.\\
\hspace{10}\\
B=a^2=49cm^2 \hspace{48} B_1=b^2=25cm^2 \hspace{48} H=3\sqrt{5}cm \\
\vspace{5} \\
V=\frac{H}{3}.(B+B_1+\sqrt{B.B_1})=\frac{3\sqrt{5}}{3}.(49+25+\sqrt{49.25})=\sqrt{5}.(49+25+35)\\
V=109\sqrt{5}cm^3[/tex]

[ammornil]

(Задача 5)
Лицата на основите на правилна четириъгълна пресечена пирамида са [tex]50cm^2[/tex] и [tex]8cm^2[/tex], а лицето на диагоналното й сечение е [tex]28cm^2[/tex]. Да се намери обема на пирамидата. (виж чертежите към задача 4)

[tex]\underline{\cyr{DADENO}}\\
B=50vm^2 \hspace{48} B_1=8cm^2 \hspace{48} S_{_{ACC_1A_1}}=28cm^2 \\
V=? \\
\vspace{20}\\
a=\sqrt{B}=\sqrt{50}=5\sqrt{2} cm \\
b=\sqrt{B_1}= \sqrt{8}=2\sqrt{2} cm \\
S_{_{ACC_1A_1}}=\frac{a+b}{2}.H \hspace{12} \Rightarrow H=\frac{2.S_{_{ACC_1A_1}}}{a+b}=\frac{2.28}{5\sqrt{2}+2sqrt{2}} \\
H=\frac{\cancel{\sqrt{2}}.\sqrt{2}.4.\cancel{7}}{\cancel{7}.\cancel{\sqrt{2}}}=4\sqrt{2} cm \\

V=\frac{H}{3}.(B+B_1+\sqrt{B.B_1})=\frac{4\sqrt{2}}{3}.(50+8+20)=104\sqrt{2} cm^3[/tex]