Тежка стереометрична :(

[WEBER]

От плътно метално кълбо е изрязан прав кръгов цилиндър с възможно най-голямо лице на околната повърхнина. Да се намери отношението на обема на цилиндъра към обема на кълбото.

(ако е възможно нека решението е подробно)

[dim]

Нека радиусът на кълбото е [tex]R[/tex], а радиуса на основата на цилиндъра [tex]x[/tex]. Цилиндърът трябва да е вписан в сферата, т.е периметърът на двете му основи да лежи в/у околната повърхнина на кълбото. Нека вицочината на цилиндъра е [tex]h[/tex]. Сега от Питагоровата следва: [tex](\frac{h}{2})^2=R^2-x^2[/tex] => околната повърхнина на цилиндъра е [tex]S=f(x)=2\pi x.h=4\pi x\sqrt{R^2-x^2}[/tex], [tex]f'(x)=4 \pi sqrt{R^2-x^2}-\frac{4 \pi x^2}{sqrt{R^2-x^2}}[/tex]. Достига екстремум за [tex]x=R\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex] и този екстремум е максимум (лесно се проверява). Всъщност излиза, че височината трябва да е равен на диаметъра на основата на цилиндъра. Обема на този цилиндър е [tex]V_{c}=\pi x^2.h=\pi \frac{R^2}{2}.R\sqrt{2}=\pi.\frac{\sqrt{2}}{2}.R^3[/tex] => [tex]\frac{V_c}{V_k}=\frac{\pi.\frac{\sqrt{2}}{2}.R^3}{\frac{4}{3}\pi R^3}=\frac{3\sqrt{2} }{8}[/tex]. Надявам се да нямам грешка при сметките - сега не мога да ги проверявам, че леко бързам, но това е идеята.