Обем на тетраедър

[abc]

За тетраедър ABCM е дадено AB=AC=AM=BM=CM= l и ъгъл САВ =α. Намерете обема на тетраедъра.

[math10.com]

[tex]\triangle ABC[/tex] е равнобедрен [tex](AB=AC=l , \angle CAB=\alpha )\Right \angle ABC=\angle BCA=90^\circ -\frac{\alpha }{2}[/tex]
[tex]MH\bot ABC , AM=BM=CM=l \Right H[/tex] е център на описаната около [tex]\triangle ABC[/tex] окръжност.
[tex]\frac{AB}{sin{(90^\circ -\frac{\alpha }{2})} }=\frac{AC}{sin{(90^\circ -\frac{\alpha }{2}) }}=\frac{BC}{sin\alpha }=2R \Right R=\frac{AB}{2sin{(90^\circ -\frac{\alpha }{2})} }=\frac{l}{2.cos{\frac{\alpha }{2}} }[/tex] (Синусова теорема за [tex]\triangle ABC[/tex])
[tex]MH=\sqrt{AM^2-AH^2}=\sqrt{l^2-\frac{l^2}{4.cos^2{\frac{\alpha }{2}} }}=\frac{l}{2.cos{\frac{\alpha }{2}}}.\sqrt{1-4cos^2{\frac{\alpha }{2}} }[/tex](Питагорова теорема за [tex]\triangle AHM[/tex])
[tex]V=\frac{1}{3}.S_{ABC}.MH=\frac{1}{3}.\frac{l^2.sin \alpha }{2}.\frac{l}{2.cos{\frac{\alpha }{2}}}.\sqrt{1-4cos^2{\frac{\alpha }{2}} }=\frac{1}{6}.l^3.sin{\frac{\alpha }{2}}.\sqrt{1-4cos^2{\frac{\alpha }{2}} }[/tex]

[abc]

При MH под корена остава 4cos^2 α/2 - 1, сигурно си ги разменил/а по грешка, и после отговора става друг. Иначе благодаря за решението.

[Knowledge Greedy]

Да, аз забелязах същото.
При мен се получи [tex]V_{ABCM}=\frac{1}{6 }l^{3}sin{\frac{\alpha }{2 }}\sqrt{4cos^2{\frac{\alpha }{2 }}-1}[/tex].
Тук трябва да обърнем внимание и на коректността на задачата заради квадратния корен. При [tex]\left | cos{\frac {\alpha}{2 }} \right |\le \frac{1}{ 2}[/tex] тялото не е дефинирано. И след като в условието не е казано, трябва в решението да отбележим, че този отговор върши работа само ако [tex]\alpha <120^\circ.[/tex]