Паралелепипед

[Zarrie]

Задачата е от учебник за 11 клас и последната седмица от учебната година се занимавахме с нея, но така и не я решихме ето я и нея:
Всички ръбове на паралелепипед са равни на b, а ъглите между ръбовете, излизащи от един връх, са равни на 2α. Намерете височината на паралелепипеда.
Успех

[monika_at]

Зари, в момента нямам възможност да пиша подробно, но тук се ползва теоремата за трите косинуса, по-скоро нейно приложение.
"Ако права а сключва с две прави б и с, (които са в една равнина) равни ъгли, то правата а се проектира върху ъглополовящата на ъгъла между б и с.

[monika_at]

th_3_cos.png (23.17 KiB) Прегледано 620 пъти

Дойде ред и на тази задача. Първо ще формулираме и докажем теоремата за трите косинуса.

Нека права [tex]a[/tex]лежи в дадена равнина и права [tex]b[/tex] е наклонена към равнината.
Нека [tex]a_1[/tex] е ортогоналната проекция на [tex]a[/tex] върху равнината.
Нека [tex]\angle(a; b)= \alpha[/tex], [tex]\angle (a; a_1)=\beta ; \angle (a_1; b)=\gamma[/tex]
Тогава: [tex]cos\alpha =cos\beta cos\gamma[/tex]

Доказателство. Нека [tex]OT\bot b[/tex]От теоремата за трите перпендикуляра=>[tex]AT\bot b[/tex]

[tex]\Delta MAO=>cos\beta =\frac{MO}{ MA} ; \Delta MTO=>cos\gamma =\frac{MT}{MO } ; \Delta MTA=>cos\alpha =\frac{MT}{ MA}[/tex]

[tex]cos\beta cos\gamma =\frac{MO}{ MA}.\frac{MT}{MO }=\frac{MT}{ MA}=cos\alpha[/tex]

Следствие: Ако една наклонена сключва с две пресекателни прави от дадена равнина равни ъгли, то наклонената се проектира ортогонално върху ъглополовящата на ъгъла, образуван от двете пресекателни прави.

След малко ще направя чертеж и решение на твоята задача, ползвайки следствието.

to be continued....

[monika_at]

zad_3.png (22.21 KiB) Прегледано 620 пъти

От условието=> [tex]\angle A_1AD=\angle A_1AB=2\alpha ; \angle DAB=2\alpha[/tex]=>
ортогоналната проекция на [tex]AA_1[/tex]върху долната основа е ъглополовящата на [tex]\angle DAB=>\angle DAO=\angle BAO=\alpha[/tex]
Нека означим [tex]\angle A_1AO=\beta[/tex]
Прилагаме теоремата за трите косинуса за наклонената [tex]AA_1[/tex]и правата [tex]AB[/tex]=>[tex]cos2\alpha =cos\alpha .cos\beta[/tex]=>

[tex]cos\beta =\frac{cos2\alpha }{ cos\alpha }[/tex]. От основното триг.равенство намираме [tex]sin\beta =\frac{\sqrt{cos^22\alpha -cos^2\alpha } }{cos\alpha }[/tex].
Прилагайки за израза под корена сбор по разлика и формулите за сбор(разлика) на косинуси, получаваме:

[tex]sin\beta =\frac{\sqrt{sin3\alpha .sin\alpha } }{cos\alpha }[/tex]

От [tex]\Delta AOA_1=>A_1O=AA_1.sin\beta =>h=b.\frac{\sqrt{sin3\alpha .sin\alpha } }{cos\alpha }[/tex]

The end!

[Zarrie]

Впечатлен съм с каква лекота я решихте