Конус

[ева]

В конус е вписан цилиндър,височината на който е равна на диаметъра на основата на конуса.Повърхнината на цилиндъра е равна на лицето на основата на конуса.
Да се намери тангенса на ъгъла между образувателната и основата на конуса.
отг.[tex]\frac{2}{5}[/tex](4+[tex]\sqrt{6}[/tex])

[KOPMOPAH]

Ако радиусът на основата на конуса е $R$, значи образувателната на цилиндъра е $2R$, а неговият радиус - $r$.
По условие $4\pi rR+2\pi r^2=\pi R^2$, което решаваме като квадратно уравнение спрямо $r$:
$4\cancel{\pi }rR+2\cancel{\pi} r^2=\cancel{\pi} R^2$
$2r^2+4rR-R^2=0 \Rightarrow r_{1,2}=\frac{-4R\pm\sqrt{16R^2+2.4R^2}}4$
Ясно е, че взимаме това решение, на което знакът пред радикала е плюс.
Значи $r=\frac{\sqrt 6-2}2.R$
Търсеният тангенс е равен на $\frac{2R}{R-r}$
Заместваме и извършваме действията:
$\frac{2R}{R-r}=\frac{2R}{R-\frac{\sqrt 6-2}2.R}=\frac{2\cancel{R}}{\cancel{R}-\frac{\sqrt 6-2}2.\cancel{R}}=\cdots=\frac25(4+\sqrt 6)$

[Davids]

Нека предложа алтернатива Нека в равнината на Основата $AB$ е диаметъра на основата, а $MN$ - отсечката от него, която е диаметър на цилиндъра. Ако радиуса на основата означим с $r$, а пък разликата между него и радиуса на цилиндъра означим с $AM = NB = m$, то значи от правоъгълните триъгълници, образувани от височината на цилиндъра, образуващата на конуса и диаметъра на основата му, по определението за тангес получаваме, че търсеният $tg\alpha = \frac{2r}{m} = 2\frac{r}{m} = 2t$, ако положим $t = \frac{r}{m}$ с ясната уговорка, че $r > m$ (понеже единият радиус е така или иначе по-голям ), което на свой ред ни дава окончателно $t > 1$.
Сега от даденото равенство на повърхнините изразяваме:
$\pi r^2 = 2(r-m)^2 + 2\pi (r-m).2r$
$...$
$5r^2 - 8mr + 2m^2 = 0$

Хомогенното уравнение решаваме по заучения маниер с разделянето на двете страни на $m^2$ и вече положеното $t = \frac{r}{m}$. Единствен корен за $t$, по-голям от 1, е $t = \frac{4 + \sqrt{6}}{5}$, а казахме, че търсеният тангенс е $tg\alpha = 2t = \frac{2}{5}(4 + \sqrt{6})$