Наклонена призма

[S.B.]

В наклонена призма [tex]ABCA_{1 }B_{1 }C_{1 }[/tex] основата [tex]ABC[/tex] е равностранен триъгълник със страна = [tex]a[/tex], а околната стена [tex]ACC_{1 }A_{1 }[/tex] е перпендикулярна на основата и е ромб с по-голям диагонал [tex]AC_{1 } = b[/tex].Намерете косинуса на двустенния ъгъл между [tex]ABC[/tex] и [tex]CBB_{1 }C_{1 }[/tex].

[S.B.]

Построявам [tex]C_{1 }P \bot AC[/tex] , т.[tex]P \in[/tex] на продължението на [tex]AC[/tex] ,като т.[tex]C[/tex] е между [tex]т.A[/tex] и [tex]т.P[/tex];
Построявам [tex]PM \bot BC[/tex] ,като т.[tex]M \in[/tex] на продължението на [tex]BC[/tex] и т. [tex]C[/tex] е между [tex]B[/tex] и [tex]M[/tex]; Построявам [tex]C_{1 }M[/tex];
[tex]BC[/tex] е пресечницата на равнините [tex](ABC)[/tex] и [tex](BCC_{1 }B_{1 })[/tex];
[tex]т.P \in AC , т.M\in BC \Rightarrow PM \in (ABC)[/tex] , [tex]т.C_{1 } \in B_{1 }C_{1 } , т.M \in BC \Rightarrow MC_{1 } \in (BCC_{1 }B_{1 })[/tex]
освен това [tex]PM \bot BC , C_{1 }M \bot BC[/tex], a [tex]BC[/tex] е пресечница на [tex](ABC)[/tex] и [tex](BCC_{1 }B_{1 }) \Rightarrow \angle PMC_{1 }[/tex] е линейния ъгъл с който се измерва двустенния ъгъл между равнините [tex](ABC)[/tex] и [tex](BCC_{1 }B_{1 })[/tex], чийто косинус търсим.
Нека [tex]\angle PMC_{1 } = \varphi[/tex] от [tex]\triangle PMC_{1 }[/tex] имаме [tex]cos\varphi = \frac{MP}{MC_{1 }}[/tex]
Разглеждам [tex]\triangle CMP :\angle MCP = \angle ACB = 60^\circ , PMC = 90^\circ \Rightarrow \frac{MP}{CP} = sin60^\circ \Rightarrow MP = \frac{CP\sqrt{3}}{2}[/tex]
Разглеждам [tex]\triangle CPC_{1 } :[/tex] нека [tex]\angle C_{1 }CP = \alpha , \frac{CP}{CC_{1 }} = cos\alpha \Leftrightarrow CP = a.cos\alpha[/tex] или [tex]MP = \frac{a.cos\alpha\sqrt{3}}{2}[/tex]
[tex]\frac{C_{1 }P}{CC_{1 }}= sin\alpha \Rightarrow C_{1 }P = a.sin\alpha[/tex]
За [tex]\triangle MPC_{1 }[/tex] прилагам Питагор: [tex]MC_{1 }^{2} = MP^{2} + C_{1 }P^{2} = a^{2}sin^{2}\alpha + \frac{3a^{2}cos^{2}\alpha}{4} = ... = \frac{a^{2}(4 - cos^{2}\alpha)}{4}[/tex]
Или [tex]C_{1 }M = \frac{a\sqrt{4 - cos^{2}\alpha}}{2}[/tex] , [tex]cos\varphi = \frac{MP}{C_{1 }M}[/tex] или [tex]cos\varphi = \frac{cos\alpha.\sqrt{3}}{\sqrt{4 - cos^{2}\alpha}}[/tex]
За [tex]\triangle ACC_{1 }[/tex] прилагам косинусова теорема :[tex]AC_{1 }^{2} = AC^{2} + CC_{1 }^{2} - 2.AC.CC_{1 }.cos(180^\circ - \alpha) \Leftrightarrow b^{2} = 2a^{2} + 2a^{2}cos\alpha[/tex] от където [tex]cos\alpha = \frac{b^{2} - 2a^{2}}{2a^{2}}[/tex] ;
И тогава след заместване и преработка се получава : [tex]cos\varphi = \frac{cos\alpha.\sqrt{3}}{\sqrt{4 - cos^{2}\alpha}} = \frac{\sqrt{3}(b^{2} - 2a^{2})}{\sqrt{12a^{4} + 4a^{2}b^{2} - b^{4}}}[/tex]

[S.B.]

Построявам [tex]C_{1 }P \bot AC[/tex] , т.[tex]P \in[/tex] на продължението на [tex]AC[/tex] ,като т.[tex]C[/tex] е между [tex]т.A[/tex] и [tex]т.P[/tex];
Построявам [tex]PM \bot BC[/tex] ,като т.[tex]M \in[/tex] на продължението на [tex]BC[/tex] и т. [tex]C[/tex] е между [tex]B[/tex] и [tex]M[/tex]; Построявам [tex]C_{1 }M[/tex];
[tex]BC[/tex] е пресечницата на равнините [tex](ABC)[/tex] и [tex](BCC_{1 }B_{1 })[/tex];
[tex]т.P \in AC , т.M\in BC \Rightarrow PM \in (ABC)[/tex] , [tex]т.C_{1 } \in B_{1 }C_{1 } , т.M \in BC \Rightarrow MC_{1 } \in (BCC_{1 }B_{1 })[/tex]
освен това [tex]PM \bot BC , C_{1 }M \bot BC[/tex], a [tex]BC[/tex] е пресечница на [tex](ABC)[/tex] и [tex](BCC_{1 }B_{1 }) \Rightarrow \angle PMC_{1 }[/tex] е линейния ъгъл с който се измерва двустенния ъгъл между равнините [tex](ABC)[/tex] и [tex](BCC_{1 }B_{1 })[/tex], чийто косинус търсим

Пропуснала съм да докажа ,че [tex]C_{1 }M \bot BC[/tex] : От [tex]C_{1 }P \bot[/tex] равнината на основата [tex]\Rightarrow MP[/tex] е проекция на [tex]C_{1 }M[/tex] в основата, но [tex]MP \bot BC \Rightarrow C_{1 }M \bot BC[/tex] според теоремата на 3-те перпендикуляра

[S.B.]

Наклонена призма

Без заглавие (55).png (190.45 KiB) Прегледано 405 пъти

Преди време,когато още не знаех как да ползвам Geo gebra публикувах тази задача без чертеж...Сега,когато се научих да чертая добавям и чертежа

[KOPMOPAH]

Един хубав чертеж винаги спестява много редове обяснения, а и добрият тон го изисква