На вниманието на дванадесетокласниците!

[S.B.]

Основата на пирамида е правоъгълен триъгълник.Всеки околен ръб на пирамидата има дължина = [tex]l[/tex] и образува с равнината на основата на пирамидата ъгъл = [tex]\alpha[/tex]. Околната стена ,която минава през един от катетите на основата, е наклонена към основата под ъгъл [tex]\beta[/tex].Определете обема на пирамидата.

[Петър Евгениев]

Основата на пирамида е правоъгълен триъгълник.Всеки околен ръб на пирамидата има дължина = [tex]l[/tex] и образува с равнината на основата на пирамидата ъгъл = [tex]\alpha[/tex]. Околната стена ,която минава през един от катетите на основата, е наклонена към основата под ъгъл [tex]\beta[/tex].Определете обема на пирамидата.

В училище съм сега, но получавам [tex]V=\frac{l^{3}sin2\alpha}{3sin\beta}.\sqrt{sin^{2}\beta-sin^{2}\alpha}[/tex]

[S.B.]

В училище съм сега, но получавам [tex]V=\frac{l^{3}sin2\alpha}{3sin\beta}.\sqrt{sin^{2}\beta-sin^{2}\alpha}[/tex]

Отговорът е [tex]V= \frac{2l^{3}sin^{2}\alpha.cos\beta}{sin^{2}\beta}\sqrt{sin(\beta + \alpha)sin(\beta - \alpha)}[/tex],където [tex]\beta > \alpha[/tex]

[Петър Евгениев]

В училище съм сега, но получавам [tex]V=\frac{l^{3}sin2\alpha}{3sin\beta}.\sqrt{sin^{2}\beta-sin^{2}\alpha}[/tex]

Отговорът е [tex]V= \frac{2l^{3}sin^{2}\alpha.cos\beta}{sin^{2}\beta}\sqrt{sin(\beta + \alpha)sin(\beta - \alpha)}[/tex],където [tex]\beta > \alpha[/tex]

Преди малко се прибрах и седнах отново да решавам. Сега получих [tex]V=\frac{2l^{3}sin\alpha cos\alpha}{3sin\beta}\sqrt{sin(\beta+\alpha)sin(\beta-\alpha)}[/tex]
След малко пак излизам и нямам време въобще иначе сигурно някъде греша на най-лесното. Задачата е хубава, ако като се прибера имам време ще седна и ще и отделя време.
---------
Щом основата е правоъгълен триъгълник, а околните ръбове са равни, то проекцията на върха лежи на средата на хипотенузата на основата.
Намира се лесно, че хипотенузата е [tex]2lcos\alpha[/tex]
После намирам и катета през, който минава стената наклонена под ъгъл [tex]\beta[/tex], намирам го, че е [tex]AC=\frac{2l}{sin\beta}\sqrt{sin(\beta+\alpha)sin(\beta-\alpha)}[/tex]
Лицето на основата [tex]B=\frac{2l}{sin\beta}.\frac{2lcos\alpha}{2}\sqrt{sin(\beta+\alpha)sin(\beta-\alpha)}=\frac{2l^{2}cos\alpha}{sin\beta}\sqrt{sin(\beta+\alpha)sin(\beta-\alpha)}[/tex]
Височината на пирамидата се явява "апотема" на околната стена, минаваща през хипотенузата и тя е [tex]lsin\alpha[/tex]
И обема [tex]V=\frac{1}{3}.B.h=\frac{1}{3}.\frac{2l^{2}cos\alpha}{sin\beta}\sqrt{sin(\beta+\alpha)sin(\beta-\alpha)}.lsin\alpha=\frac{l^{3}sin2\alpha}{3sin\beta}\sqrt{sin(\beta+\alpha)sin(\beta-\alpha)}[/tex]

[S.B.]

Да, имаш грешка - лицето на триъгълника не е равно на катет по [tex]\frac{1}{2}[/tex] от хипотенузата,а е равно на полупроизведението на двата катета

[S.B.]

Без заглавие (5).png (401.32 KiB) Прегледано 337 пъти

Пирамидата е [tex]EABC, \angle ABC = 90^\circ , AE = BE = CE = l ,[/tex] Околните ръбове сключват с основата равни ъгли с големина [tex]\alpha[/tex] ,Стената минаваща през един от катетите сключва с равнината на основата ъгъл с големина [tex]\beta[/tex].Приемам,че тази стена е [tex]BCE[/tex];
Околните ръбове са равни [tex]\Rightarrow[/tex] върхът [tex]E[/tex] се проектира върху центъра на описаната около основата окръжност - т.[tex]D[/tex],която е среда на хипотенузата.
От [tex]\triangle ADE : \angle DAE = \alpha , \frac{DE}{AE} = sin\alpha \Rightarrow DE = AE . sin\alpha[/tex] или [tex]DE = l.sin\alpha[/tex]; [tex]\frac{AD}{EA} = cos\alpha \Rightarrow AD = l.cos\alpha \Rightarrow AB = 2lcos\alpha[/tex]
Построявам през т. [tex]D[/tex] права II [tex]AC[/tex] ,която пресича [tex]BC[/tex] в т. [tex]F[/tex] По теоремата т.[tex]F[/tex] е среда на [tex]BC \Rightarrow FD[/tex] е средна отсечка;
От [tex]\triangle DFE : \angle EFD = \beta ,\frac{FD}{ED} = cotg\beta \Rightarrow FD = ED.cotg\beta = l.sin\alpha .cotg\beta , AC = 2FD = 2.l .sin\alpha. cotg\beta[/tex]
За да намерим лицето на основата ни е необходим и другия катет,който намираме по Питагор:[tex]BC^{2} = AB^{2} - AC^{2}[/tex]
[tex]BC^{2} = (2.l.cos\alpha)^{2} - (2.l.sin\alpha.cotg\beta)^{2} = 4l^{2}cos^{2}\alpha - 4l^{2}sin^{2}\alpha\frac{cos^{2}\beta}{sin^{2}\beta} =\frac{4l^{2}}{sin^{2}\beta}(sin^{2}\beta.cos^{2}\alpha - sin^{2}\alpha.cos^{2}\beta) =[/tex]
[tex]\frac{4l^{2}}{sin^{2}\beta}(sin\beta.cos\alpha - sin\alpha.cos\beta)(sin\beta.cos\alpha + sin\alpha.cos\beta) = \frac{4l^{2}}{sin^{2}\beta}.sin(\beta - \alpha)sin(\beta + \alpha)[/tex]
[tex]BC = \frac{2l}{sin\beta}\sqrt{sin(\beta - \alpha)sin(\beta + \alpha)}[/tex] ,като [tex]\beta >\alpha[/tex]
[tex]V = \frac{1}{3}. \frac{1}{2}.AC.BC.DE= \frac{1}{6}.2l.sin\alpha.cotg\beta .\frac{2l}{sin\beta}\sqrt{sin(\beta - \alpha)sin(\beta + \alpha)}.lsin\alpha[/tex]
[tex]V = \frac{2l^{3}sin^{2}\alpha.cos\beta}{3sin^{2}\beta}\sqrt{sin(\beta - \alpha)sin(\beta + \alpha)}[/tex] като е задължително [tex]\beta > \alpha[/tex]

[Петър Евгениев]

Да, имаш грешка - лицето на триъгълника не е равно на катет по [tex]\frac{1}{2}[/tex] от хипотенузата,а е равно на полупроизведението на двата катета

Казах ли аз, че е на най-лесното, казах.

[S.B.]

Да, имаш грешка - лицето на триъгълника не е равно на катет по [tex]\frac{1}{2}[/tex] от хипотенузата,а е равно на полупроизведението на двата катета

Казах ли аз, че е на най-лесното, казах.

Е,не го вземай толкова "навътре"!