Сечение на правилна триъгълна призма

[S.B.]

Правилна триъгълна призма има дължина на основния ръб $a$ и дължина на околния ръб $2a$.Под какъв ъгъл към равнината на основата на призмата трябва да се прекара равнина ,минаваща през основен ръб,така,че обемите на двете тела ,на които равнината разделя призмата,да се отнасят както $1 : 3$
Отговор:Първи случай 60[tex]^\circ[/tex] ; Втори случай :[tex]tg\alpha = \frac{8(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{3}[/tex]

[Davids]

Имаме два случая на пресичане на равнината с призмата:
I) - когато равнината пресича $АА_1$ в точка $P$:

Prism1.png (33.73 KiB) Прегледано 612 пъти

Тогава означаваме $A_1P = h \Rightarrow AP = 2a - h$. Лицето на основата ще запазим като $B$. Също знаем, че $V_{ABCP} = \frac{1}{2}V_{BCFEP}$. Следователно, за да имаме отношението $\frac{V_{A_1B_1C_1CBP}}{V_{ABCP}} = 3$, то е достатъчно да имаме $V_{A_1B_1C_1PEF} = V_{ABCP}$, сиреч $Bh = \frac{B(2a - h)}{3}$
$\Rightarrow h = \frac{a}{2}$
Тогава $AP = 2a - h = \frac{3a}{2}$. И тангенсът на търсения ни ъгъл $tg\alpha = \frac{AP}{AM} = \frac{\frac{3a}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{3} \Rightarrow \alpha = 60^{\circ}$

II) - когато равнината пресича горната основа $A_1B_1C_1$ в отсечката $DE$:

Prism2.png (33.65 KiB) Прегледано 612 пъти

В случая ще имаме $\frac{V_{DB_1C_1ECB}}{V_{ABCA_1DE}} = \frac{1}{3}$ и като заначало ще изразим $V_{DB_1C_1ECB} = V_{DB_1C_1EB} + V_{BCC_1E}$. Преди да започнем обаче, е ключово да въведем коефициентът на подобие на линейните елелменти на малките и големи триъгълници в основите, т.е. $\triangle AGF \sim \triangle ABC = k$. За улеснение ще си въведем и $h' = h - hk = h(1 - k) = \frac{a\sqrt{3}}{2}(1 - k)$
Намираме:
$V_{DB_1C_1EB} = \frac{\frac{(a + ak)}{2}.h'.2a}{3}$
$V_{BCC_1E} = \frac{\frac{2a.a}{2}.h'}{3}$

$\Rightarrow V_{DB_1C_1ECB} = \frac{a^2h'}{3}(k + 2)$

Паралелно с това за останала част имаме $V_{ABCA_1DE} = V_{ABCA_1B_1C_1} - V_{DB_1C_1ECB} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}.2a - V_{DB_1C_1ECB}$.
За по-кратко ще положим $v' = V_{DB_1C_1ECB}$

Тогава имаме уравнението $\frac{v'}{\frac{a^3\sqrt{3}}{2} - v'} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow 4v' = \frac{a^3\sqrt{3}}{2}$
$\Rightarrow 4\frac{a^2h'}{3}(k + 2) = \frac{a^3\sqrt{3}}{2}$
$8a^2h'(k + 2) = 3a^3\sqrt{3}$
$8h'(k + 2) = 3\sqrt{3}a$

Заместваме $h'$ от по-горе:
$8(k + 2)\frac{a\sqrt{3}}{2}(1 - k) = 3\sqrt{3}a$
$-4(k + 2)(k - 1) = 3$
Единствен положителен корен е $k = \frac{\sqrt{6} - 1}{2}$
Заместваме в $h' = \frac{a\sqrt{3}}{2}(1 - k) = \frac{a\sqrt{3}(\sqrt{6} + 1)}{4}$

Окончателно остава да отбележим (а може би с това се и започва като идея де, но нищо xD), че търсеният тангенс на ъгъла е:
$tg\alpha = \frac{JK}{KM} = \frac{2a}{h'} = \frac{2a}{\frac{a\sqrt{3}(\sqrt{6} + 1)}{4}} = \frac{8\sqrt{3}(\sqrt{6} - 1)}{15}$

Разминават се отговорите, вероятно някоя сметка някъде съм объркал, но не можах да си открия грешката... Та така

[S.B.]

Единствен положителен корен е $k = \frac{\sqrt{6} - 1}{2}$
Заместваме в $h' = \frac{a\sqrt{3}}{2}(1 - k) = \frac{a\sqrt{3}(\sqrt{6} + 1)}{4}$

Окончателно остава да отбележим (а може би с това се и започва като идея де, но нищо xD), че търсеният тангенс на ъгъла е:
$tg\alpha = \frac{JK}{KM} = \frac{2a}{h'} = \frac{2a}{\frac{a\sqrt{3}(\sqrt{6} + 1)}{4}} = \frac{8\sqrt{3}(\sqrt{6} - 1)}{15}$

Разминават се отговорите, вероятно някоя сметка някъде съм объркал, но не можах да си открия грешката... Та така

Да, наистина имаш грешка - "оплел" си знаците:[tex]k = \frac{\sqrt{6} - 1}{2}[/tex]
[tex]h'= \frac{a\sqrt{3}}{2}(1 - k) = \frac{a\sqrt{3}}{2}(1 - \frac{\sqrt{6} - 1}{2}) = \frac{a\sqrt{3}}{2}(\frac{2 - \sqrt{6} + 1}{2}) = \frac{a\sqrt{3}(3 - \sqrt{6})}{4}[/tex]
[tex]tg\alpha = \frac{2a}{h'}= \frac{2a}{\frac{a\sqrt{3}(3 - \sqrt{6})}{4}} = \frac{8a}{a\sqrt{3}(3 - \sqrt{6})} = \frac{8\sqrt{3}(3 + \sqrt{6})}{3(9 - 6)} = \frac{8(3\sqrt{3} + \sqrt{18})}{9} = \frac{8(3\sqrt{3} + 3\sqrt{2})}{9} =[/tex]
[tex]= \frac{8.3(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{9} = \frac{8(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{3}[/tex]