Пирамида

[S.B.]

Да се намери двустенния ъгъл между равнината на основата и околната стена на правилна четириъгълна пирамида, ако $R = 3r$ ,където $R$ е радиусът на описаното кълбо ,а $r$ - радиусът на вписаното в пирамидата кълбо.

[KOPMOPAH]

Благодаря за хубавата задача. Един хубав коледно-новогодишен подарък за ценителите.

[Евва]

70 [tex]^\circ[/tex]30' ли е отговора

[S.B.]

70 [tex]^\circ[/tex]30' ли е отговора

Отговорът е :[tex]tg\alpha = \sqrt{\frac{3 \pm \sqrt{2}}{7}}[/tex] ,като при едното решение центърът на описаното кълбо е вътре в пирамидата,а при другото - вън от нея.
Весела Коледа!

[S.B.]

Благодаря за хубавата задача. Един хубав коледно-новогодишен подарък за ценителите.

Хубавата задача по време на коледно - новогодишните празници е винаги радост за ценителите ...но може да се превърне в кошмар за най - близкото им обкръжение... ,което в такива случаи започва да "страда" от недостиг на внимание!
Весела Коледа!

[Nathi123]

Нека ABCDM-правилна четириъгълна пирамида;ABCD-квадрат ; АВ = х [tex]AC\cap BD=O\Rightarrow MO\bot (A,B,C);[/tex]
S-център на описаната около пирамидата сфера ;N-център на вписаната сфера[tex]\Rightarrow S,N\in MO[/tex] .Построяваме [tex]MH\bot BC\Rightarrow OH\bot BC[/tex]
[tex]\Rightarrow \angle OHM=\alpha[/tex]. Нека [tex]\angle ACM=\angle MAC=\varphi \Rightarrow \angle AMC=180^\circ -2\varphi[/tex] ( от триъг. АСМ)
[tex]\triangle OHM\Rightarrow MO=\frac{xtg\alpha}{2}; \triangle OCM\Rightarrow MO=\frac{x\sqrt{2}tg\varphi}{2}\Rightarrow tg\varphi =\frac{tg\alpha}{2}[/tex]
Синусова т-ма за [tex]\triangle ACM\Rightarrow \frac{AC}{sin2\varphi} = 2R[/tex] R - е и радиус на описаната около триъг. АСМ окръжност.
[tex]\triangle OHN\Rightarrow \frac{2r}{x}=tg\frac{\alpha}{2} \Rightarrow \frac{r\sqrt{2}}{Rtg\frac{\alpha}{2}}=sin2\varphi ;sin2\varphi =\frac{2tg\varphi}{1-tg^{2}\varphi} =\frac{4tg\alpha}{\sqrt{2}(1+\frac{tg^{2}\alpha}{2})} ; tg\alpha = \frac{2tg\frac{\alpha}{2}}{1-tg^{2}\frac{\alpha}{2}}[/tex].
[tex]\Rightarrow \frac{\sqrt{2}}{3tg\frac{\alpha}{2}}=\frac{4tg\alpha}{\sqrt{2}(2+tg^{2}\alpha)}\Leftrightarrow 7tg^{4}\frac{\alpha}{2}-6tg^{2}\frac{\alpha}{2}+1=0\Leftrightarrow tg^{2}\frac{\alpha}{2} = \frac{3\pm\sqrt{2}}{7}\Leftrightarrow tg\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{3\pm\sqrt{2}}{7}}[/tex].
Весела Коледа !

[S.B.]

Весела Коледа и на теб,Nathi123!