Сечение в прав кръгов конус

[S.B.]

През две образувателни на прав кръгов конус,сключващи ъгъл [tex]\alpha[/tex],е прекарана равнина ,сключваща с равнината на основата ъгъл [tex]\beta[/tex].Лицето на сечението е равно на $Q$.Да се намери обема на конуса.

[KOPMOPAH]

Сечение в прав кръгов конус.png (14.99 KiB) Прегледано 1297 пъти

[Davids]

Да напишем и едно решение освен
По формулата за лице от $\triangle FGM$: $Q = \frac{l^2sin\alpha}{2} \Rightarrow l = \sqrt{\frac{2Q}{sin\alpha}}$
По дефиницията за косинус от $\triangle JGM$: $h = lcos\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{2Q}{sin\alpha}}cos\frac{\alpha}{2}$
По определение за синус от $\triangle HJM$: $H = hsin\beta = \sqrt{\frac{2Q}{sin\alpha}}cos\frac{\alpha}{2}sin\beta$
Вече имаме височината на конуса, сега паралелно с това по определението за синус от същия триъгълник имаме $HJ = hcos\beta$, а от $\triangle JGM$ отново ще изразим $\frac{a}{2} = lsin\frac{\alpha}{2}$
Питагорова теорема за $\triangle HFJ \Rightarrow r^2 = HJ^2 + \frac{a^2}{4} = h^2cos^2\beta + l^2sin^2\frac{\alpha}{2} = l^2cos^2\frac{\alpha}{2}cos^2\beta + l^2sin^2\frac{\alpha}{2} = l^2(cos^2\frac{\alpha}{2}cos^2\beta + sin^2\frac{\alpha}{2})$

Окончателно обемът ни е $V = \frac{B.H}{3} = \frac{\pi r^2.H}{3} =$
$= \frac{\pi}{3}.l^2(cos^2\frac{\alpha}{2}cos^2\beta + sin^2\frac{\alpha}{2}).lcos\frac{\alpha}{2}.sin\beta =$
$= \frac{\pi}{3}.\big (\frac{2Q}{sin\alpha} \big)^{\frac{3}{2}}.cos\frac{\alpha}{2}sin\beta.(cos^2\frac{\alpha}{2}cos^2\beta + sin^2\frac{\alpha}{2})$

Нямам психика да опростявам вече