Права призма

[S.B.]

Височината на права призма $ABCDA_{1 }B_{1 }C_{1 }D_{1 }$ има дължина $4b$.Основата $ABCD$ е равнобедрен трапец с основи $AB = 6b$ и $CD = 2b$.Ъгълът между диагонала на призмата $A_{1 }C$ и равнината на основата има големина [tex]\varphi[/tex].
а) Да се намери обема на призмата;
б) Нека $\alpha$ и $\beta$ са равнините определени съответно от върховете $A , B , C_{1 }$ и $B , C , A_{1 }$.
Да се намери стойността на ъгъла $\varphi$ , при която сеченията на призмата с равнините $\alpha$ и $\beta$ са равнолицеви.

[S.B.]

Скрит текст: покажи

Untitled (39).png (325.66 KiB) Прегледано 321 пъти

[Евва]

а) ([tex]\triangle[/tex]СА[tex]А_{1 }[/tex] е правоъгълен) cotg[tex]\varphi[/tex]=[tex]\frac{AC}{AA_{1 }}[/tex]=[tex]\frac{AC}{4b}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] AC=4b.cotg[tex]\varphi[/tex]
Построяваме CDBP-успоредник (т.Р лежи на правата АВ) ; [tex]S_{ABCD }[/tex]=[tex]S_{APC }[/tex]=?

[tex]P_{APC }[/tex]=AC+PC+AP=2AC+(AB+CD)=8b.cotg[tex]\varphi[/tex]+8b [tex]\Rightarrow[/tex] p(APC)=4b(1+cotg[tex]\varphi[/tex])

(Херонова ф-а) [tex]S_{ABCD }[/tex]=[tex]\sqrt{4b(1+cotg\varphi)4b.4b[4b(cotg\varphi-1)]}[/tex]=

=16[tex]b^{2}[/tex][tex]\sqrt{cotg^{2}\varphi-1}[/tex]=16[tex]b^{2}[/tex][tex]\sqrt{\frac{cos 2\varphi}{sin^{2}\varphi}}[/tex]= [tex]\frac{16b^{2}\sqrt{cos 2\varphi}}{sin\varphi}[/tex] [[tex]\angle[/tex][tex]\varphi[/tex]<90[tex]^\circ[/tex]]

Намерихме B=[tex]S_{ABCD }[/tex]=[tex]\frac{16b^{2}\sqrt{cos2\varphi}}{sin\varphi}[/tex]

V=Bh=[tex]\frac{16b^{2}\sqrt{cos2\varphi}}{sin\varphi}[/tex].4b

V=[tex]\frac{64b^{3}\sqrt{cos2\varphi}}{sin\varphi}[/tex]