Триъгълна пирамида

[S.B.]

Обемът на пирамидата $ABCQ$ е $32\sqrt{3}$ и $AB = 10 , BC = 6, CA = 8 , QA = QC = 4\sqrt{5}$
а) Да се намери ъгъла между равнините (ABC) и (AQC);
б) Да се намери радиуса на описаната около $ABCQ$ сфера.

[S.B.]

Първи случай - точките H и M са в една и съща полуравнина относно AC

Без заглавие (66).png (229.18 KiB) Прегледано 310 пъти

Втори случай - точките H и M са в различни полуравнини относно AC

Без заглавие (67).png (255.72 KiB) Прегледано 310 пъти

Още една задача,която очакваше да и бъде обърнато внимание от 24.01.21019 г....

a) [tex]AB = 10,AC = 8 , BC = 6[/tex] с косинусова теорема се установява,че [tex]\angle ACB = 90^\circ[/tex];
[tex]V = 32\sqrt{3} \Rightarrow \frac{1}{3}S_{ABC }. h = 32\sqrt{3} \Rightarrow h = 4\sqrt{3}[/tex]
[tex]\triangle AQC[/tex] е равнобедрен $AQ = CQ = 4\sqrt{5} , N $ е среда на $AC$ ,и по Питагор се получава $QN = 8$
Нека $NM || CB \Rightarrow NM \bot AC$ и $ QN \bot AC$ ,По $NM $ и $QN$ построявам равнина перпендикулярна на пресечницата на $ABC$ и $AQC$ в която се намира височината на пирамидата $QH$,като т.$H$ принадлежи на продължението на $NM$
Разглеждам $\triangle QHN$ - правоъгълен, от където $\frac{QH}{QN} = sin\angle QNH ,\frac{4\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2} = sin\angle QNH \Rightarrow \angle QNH = 60^\circ$
б) Първи случай - т.$H$ и т.$M$ са в една и съща полуравнина относно $AC$;т.$O_{1 }$ център на вписаната в $\triangle ACQ$ окръжност ,
т.$O$ е център на сферата,т.$M$ е център на описаната около $\triangle ABC$ окръжност.
$\triangle NMO \cong NO_{1 }O $ ( $NO$ е ъглополовяща) $\Rightarrow MO =O_{1 }O $
$S_{ACQ } = \frac{AC.AQ.CQ}{4R} \Rightarrow 32 = \frac{4\sqrt{5}.4\sqrt{5}.8}{4R} \Rightarrow R = 5 \Rightarrow NO_{1 } = 3$
В $\triangle ABC$ т.$M$ е център на описаната окръжност, $MN = 3$ като средна отсечка , $\triangle NMO_{1 }$ е равностранен (ъгъл $O_{1 }NM = 60^\circ$) ,$\Rightarrow O_{1 }M = 3$ ,$\triangle О_{1 }МО$ е равнобедрен ,$\angle O_{1 }OM = 120^\circ$ и по косинусова теорема се намира,че $OM = OO_{1 } = \sqrt{3}$ , т.$O$ е център на сферата ,$AO$ е радиус на сферата ,$R = AO = \sqrt{AM^{2} + OM^{2}} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$
Втори случай: точките $M $ и $H$ са в различни полуравнини относно $AC$
Разсъжденията са аналогични.
От $\triangle MNO_{1 }$ по косинусова теорема се намира $O_{1 }M = 3\sqrt{3}$ , $\triangle OMO_{1 }$ е равностранен и $MO = 3\sqrt{3}$
$ R = AO = \sqrt{AM^{2} + MO^{2} } = \sqrt{25 + 27} = 2\sqrt{13}$