За любителите на сеченията в стереометрията

[S.B.]

Основата на пирамида $ABCDS$ е ромб с диагонали $AC = a$ и $BD = b$.Околният ръб $AS$ е перпендикулярен на равнината на основата и е равен на $m$.През т.$A$ и средата $K$ на ръба $SC$ е прекарана равнина,успоредна на $BD$.Намерете лицето на полученото сечение.

[Nathi123]

ABCD-ромб[tex]\Rightarrow AC\bot BD;AC\cap BD=O;AO=BO\Rightarrow SO[/tex] -медиана в [tex]\triangle ACS;CK=SK\Rightarrow AK-[/tex] медиана в
[tex]\triangle ACS ;AK\cap SO=L\Rightarrow[/tex] L-медицентър в този триъг.
В равн. ( BDS ) построяваме през L права n ||BD;[tex]\Rightarrow n\cap SB=P; n\cap SD=Q\Rightarrow APKQ -[/tex] търсеното сечени.
Правата АС е ортог. проекция на правата АК върху равнината (АВС) .По теорема за трите перпенд. следва,че [tex]AK\bot BD; n|| BD\Rightarrow AK\bot PQ[/tex]
[tex]\Rightarrow S_{APKQ}=\frac{1}{2}AK.PQ; \triangle ACS\Rightarrow SC=\sqrt{AC^{2}+SA^{2}}=\sqrt{a^{2}+m^{2}}; AK=\frac{1}{2}SK=\frac{\sqrt{a^{2}+m^{2}}}{2}[/tex]
[tex]\frac{SL}{SO}=\frac{SP}{SB}=\frac{PQ}{BD}=\frac{2}{3}\Rightarrow PQ=\frac{2b}{3}\Rightarrow S_{APKQ}=\frac{b\sqrt{a^{2}+m^{2}}}{6}[/tex].

[S.B.]

Сечение в пирамида

Без заглавие (33).png (281.32 KiB) Прегледано 268 пъти