Една пирамида...

[S.B.]

Една пирамида има за основа равностранен триъгълник с дължина на страната $a$.Два от околните ръбове на пирамидата сключват с равнината на основата даден ъгъл [tex]\varphi[/tex],а стената в която те лежат сключва с равнината на основата даден ъгъл $\alpha$
Да се намери обема на пирамидата.

[Knowledge Greedy]

Първия чертеж ползвам за ориентиране и въвеждане на означения.

Пирамидата с правилна основа и два ъгъла.png (7.27 KiB) Прегледано 307 пъти

От определението за синус в правоъгълния [tex]\triangle KDH[/tex]
[tex]h=ksin\alpha[/tex]
От правоъгълния [tex]\triangle CDH[/tex]
[tex]CD=\frac{h}{sin\varphi}=\frac{ksin\alpha}{sin\varphi}[/tex]
По питагорова теорема [tex]CD^2+k^2=\left (\frac{a}{2} \right )^2[/tex] в правоъгълния [tex]\triangle KDC[/tex] определяме зависимост между апотемата [tex]k[/tex] и дадения основен ръб.
[tex]k^2=\frac{a^2sin^2\varphi}{4(sin^2\alpha+sin^2\varphi)}[/tex]

Част от пирамидата с правилна основа.png (5.26 KiB) Прегледано 307 пъти

Следователно [tex]h=\frac{asin\alpha sin\varphi }{2\sqrt{sin^2\alpha+sin^2\varphi}}[/tex]
Остава да умножим по [tex]\frac{1}{3}[/tex] и по лицето [tex]\frac{a^2\sqrt{3}}{4}[/tex] на основата, за да получим обема.
________________
В последния момент забелязах, че съм разменил имената на ъглите [tex]\alpha[/tex] и [tex]\varphi[/tex], както в чертежа, така и в пресмятанията.
Въпреки това отговорът [tex]V=\frac{a^3sin\alpha sin \varphi}{24\sqrt{sin^2\alpha +sin^2\varphi}}[/tex] не се промени!

[Nathi123]

Ако точка Н е от симетралата на ВС,но е външна точка за триъг. АВС ?