Пирамида вписана в кълбо

[S.B.]

Скрит текст: покажи

Без заглавие (28).png (340.02 KiB) Прегледано 412 пъти

В кълбо с радиус равен на $R$,е вписана правилна четириъгълна пирамида на която ъгълът между две околни стени е равен на [tex]2\alpha[/tex].Определете основния ръб на пирамидата.

[S.B.]

Без заглавие (28).png (340.02 KiB) Прегледано 357 пъти

В кълбо с радиус равен на $R$,е вписана правилна четириъгълна пирамида на която ъгълът между две околни стени е равен на [tex]2\alpha[/tex].Определете основния ръб на пирамидата.

Даден е ъгълът между две съседни стени $2\alpha$ , който не е удобен за ползване,за това аз ще изразя чрез него по-удобният за ползване ъгъл между околен ръб и равнината на основата $\angle MCO$
Нека $\angle MCO = \beta , MC = l, AB = a$
От $\triangle OBP :\frac{OP}{OB} = cotg\alpha \Rightarrow OP = OB.cotg\alpha$ или $OP = \frac{a\sqrt{2}}{2}.cotg\alpha$
От $\triangle OPC, (\angle OPC = 90^\circ) \frac{PO}{OC} = sin\angle PCO \Leftrightarrow OP = OC.sin\angle PCO$ или $OP = \frac{a\sqrt{2}}{2}.sin\beta$
[tex]\begin{cases} OP =\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}.cotg\alpha \\ OP = \displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}.sin\beta \end{cases} \Rightarrow sin\beta = cotg\alpha[/tex]
Разглеждам $\triangle MM_{1 }C$ ,правоъгълен ,$MM_{1 }$ е диаметър, $OC \bot MM_{1 } ,\angle MM_{1 }C = \angle OCM = \beta$
$\frac{MC}{MM_{1 }} = sin\beta \Leftrightarrow \frac{l}{2R} = cotg\alpha \Rightarrow l = 2R.cotg\alpha$
От $\triangle OCM : \frac{OC}{MC} = cos\beta \Leftrightarrow OC = MC.cos\beta \Leftrightarrow \frac{a\sqrt{2}}{2} = l.cos\beta \Rightarrow \frac{a\sqrt{2}}{2} = 2Rcotg\alpha\sqrt{1 - sin^{2}\beta}$
$\frac{a\sqrt{2}}{2} = 2Rcotg\alpha\sqrt{1 - \frac{cos^{2}\alpha}{sin^{2}\alpha}} = 2R.cotg\alpha \sqrt{\frac{sin^{2}\alpha - cos^{2}\alpha}{sin^{2}\alpha}} = 2R.cotg\alpha.\frac{\sqrt{| - cos2\alpha|}}{sin\alpha} \Rightarrow$

$\frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{2R.cos\alpha\sqrt{| - cos2\alpha |}}{sin^{2}\alpha}$

$a = \frac{2\sqrt{2}.R.cos\alpha.\sqrt{| - cos2\alpha|}}{sin^{2}\alpha}$