За любителите на стереометрията - 2

[KOPMOPAH]

Четири от върховете на куб с ръб $1$ са върхове на правилен тетраедър. Останалите четири са върхове на друг правилен тетраедър. Да се намери обемът на общата част на тетраедрите.

[S.B.]

Без заглавие (77).png (312.4 KiB) Прегледано 902 пъти

Четири от върховете на куб с ръб $1$ са върхове на правилен тетраедър. Останалите четири са върхове на друг правилен тетраедър. Да се намери обемът на общата част на тетраедрите.

Е,поне до чертежа го докарах за сега!

[ptj]

Тази нямаше смисъл да я пишеш, защото е почти същата като първия вариант.
Ако не съм объркал отговора на другата, за тази трябва да се получи [tex]\frac{5}{12}[/tex].

[KOPMOPAH]

Тази нямаше смисъл да я пишеш, защото е почти същата като първия вариант.
Ако не съм объркал отговора на другата, за тази трябва да се получи [tex]\frac{5}{12}[/tex].

Уважаеми ptj, обемът само на единия тетраедър е по-малък от стойността, която сте посочил, поради което няма как сечението на двата да е $\frac{5}{12}$
На аудиторията вероятно ще е интересно да види как сте стигнал до този резултат, използвайки другата задача. Тогава ще стане ясно дали е имало смисъл да публикувам задачата.

[KOPMOPAH]

...Е,поне до чертежа го докарах за сега!

Който владее GeoGebra - чертае.
Чертежът е хубав, чакаме решението.

[ptj]

Обена на обединението на двете пирамиди е 1/2.

Сечението им е осмостен, получен посредством изрязване на 8 малки тетраедра от "обединението". Неговия обем е [tex]1/4[/tex].


П.П. Купете си голям сатър...

[KOPMOPAH]

От твърденията:

Обена на обединението на двете пирамиди е 1/2.

Сечението им е осмостен, получен посредством изрязване на 8 малки тетраедра от "обединението". Неговия обем е [tex]1/4[/tex].

само едно е вярно. Оставям на Вас да отгатнете кое, докато аз си търся сатър и оценявам хумора Ви.

Ето един чертеж, който ще ви помогне да стигнете до верния отговор:

Куб и тетраедри.png (41.11 KiB) Прегледано 824 пъти

Скрит текст: покажи

Вижда се, че сечението на двата тетраедъра е октаедър, съставен от две четириъгълни пирамиди с основа $\frac 12$ и височина $\frac 12$, обемът на всяка от които е $\frac 13.\frac 12.\frac 12=\frac 1{12}$ или общо обемът на октаедъра е $\frac 16$

[S.B.]

Без заглавие (14).png (505.63 KiB) Прегледано 823 пъти

...Е,поне до чертежа го докарах за сега!

Който владее GeoGebra - чертае.
Чертежът е хубав, чакаме решението.

Ето и решението:
Предполагам,че KOPMOPAH е благороден и ще ми прости закъснението!
$PTKQ$ е квадрат със страна [tex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex] ,$S_{PTKQ } = (\frac{\sqrt{2}}{2})^{2} = \frac{1}{2}$
$V_{PTKQN } = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{3} = \frac{1}{12} \Rightarrow V_{PKTQNM } = 2.V_{PTKQN } = 2. \frac{1}{12} = \frac{1}{6}$

Скрит текст: покажи

Чертежа не е толкова красив като на нашия уважаван колега KPMOPAH ,но обещавам,че следващия път ще се постарая повече!

[S.B.]

Ето и решението:
Предполагам,че KOPMOPAH е благороден и ще ми прости закъснението!
$PTKQ$ е квадрат със страна [tex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex] ,$S_{PTKQ } = (\frac{\sqrt{2}}{2})^{2} = \frac{1}{2}$
$V_{PTKQN } = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{3} = \frac{1}{12} \Rightarrow V_{PKTQNM } = 2.V_{PTKQN } = 2. \frac{1}{12} = \frac{1}{6}$

Скрит текст: покажи

Чертежа не е толкова красив като на нашия уважаван колега KPMOPAH ,но обещавам,че следващия път ще се постарая повече!

Искам да дам някои обяснения към чертежа и решението:
Полученото тяло е от групата "Платонови тела" - октаедър.Върховете му се получават при пресичането на ръбовете на двата "преплетени" тетраедъра ,(от първия чертеж - син и червен) ,които всъщност са диагонали на стените на куба.С две думи - върховете на полученото Платоново тяло, са центровете на стените на куба.Чертежа съм оставила умишлено "претрупан" за да се види от къде идва конструкцията на тялото.Ръбовете на $PTKQ$ се проектират върху повърхнините на основите на куба като средни отсечки успоредни на диагоналите и равни на [tex]\frac{1}{2}[/tex] от тях - $\frac{\sqrt{2}}{2}$

[ptj]

IMG_20190614_182845184.jpg (309.77 KiB) Прегледано 780 пъти

Нищо не сте разбрали.
Разрежете куба на 8 еднакви кубчета.

Те са с еднаква конфугурация.
Единия им връх е център на октаедъра, а срещуположния е връх на октаедъра.

Без загуба на общност ще считаме, че ръба на куба от картинката е [tex]1m[/tex].
Тогава външната част за "обединението на тетраедрите " са 3-те пирамиди [tex]C_1MNS,C_1PRM,C_1NQP[/tex].
Всеки от тях има обем [tex]\frac{1}{6}m^3[/tex], т.е. обема на "обединенето" е [tex]1-3.\frac{1}{6}=\frac{1}{2}m^3[/tex].

Двете пирамиди [tex]PMNC_1[/tex] и [tex]PMNO[/tex] са еднакви, т.е.

"сечението на пирамидите от условието"= [tex]\frac{1}{2}[/tex] от "обединението им".

Когато умножим по 8 съотношението м/у сечението на тетраедрите от условието и общия обем на куба няма да се промени,
т.е. окончателния резултат е 1:4.

[S.B.]

IMG_20190614_182845184.jpg

Нищо не сте разбрали.

Много сте прав,че нищо не съм разбрала
Нека уточним:
1)Всеки куб има 8 върха - 2 мнения по този въпрос няма!
2)Във върховете НЯМА обединение на обемите - и по този въпрос 2 мнения няма!
3)Обемът на една "пирамидка" отсечена от върха е [tex]\frac{1}{6}[/tex] - и Вие го казвате ,а и аз го преметнах много съвестно!
4)Отсичаме върховете и пресмятаме:$8$ върха $. \frac{1}{6}$ = $\frac{8}{6} > 1$???
5) Язък за куба!!!

[KOPMOPAH]

Колега ptj, не Ви ли прави впечатление колко дълбоко погрешно е твърдението Ви:

Двете пирамиди $PMNC_1$ и $PMNO$ са еднакви...?

Би ли могъл правилен тетраедър да е еднакъв с триъгълна пирамида с три прави ъгъла при върха? Разбира се, при определени условия и в някоя друга задача те биха могли да имат равни обеми, но в случая и това не е така.

П.П. За рязане на кубчетата ли трябваше сатър?

[ptj]

Съгласен съм с крититиките.
Отговора е 1/6.