За виртуозите в стереометрията!

[S.B.]

Върху равнина лежат три еднакви конуса с общ връх.Всеки от тях се допира до останалите два.Да се намери ъгълът [tex]\varphi[/tex] при върха на осното сечение на един от тези конуси.
Отг.[tex]tg\frac{\varphi}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]

Скрит текст: покажи

Сборник от задачи по геометрия 7 - 10 клас,изд."Народна просвета"1986г. ,стр.231 зад.41.Бях публикувала и зад.40,която се отнася до два еднакви конуса с общ връх,(темата е със заглавие "Два конуса...) но до този момент няма отговор

[KOPMOPAH]

И двете задачи с конусите са много хубави! Дали тогава учениците са били по-умни?

[S.B.]

И двете задачи с конусите са много хубави! Дали тогава учениците са били по-умни?

Ще Ви отговоря с цитат от една известна басня на Крилов:
"...Таз басня бих могъл да поясня със примери по-дръзки...,но се боя да не разсърдя всички гъски!"
Или по- точно:
В този сборник от миналото има още такива задачи....,но се боя да ги публикувам...

[Knowledge Greedy]

Затваряме конусите в кутия - правилна триъгълна пирамида. Всяка от околните стени съдържа основата на един от конусите, в качеството на вписан кръг в околна стена. (Тук подразбираме конусите да са прави, кръгови.)

Опаковъчната кутия.png (6.41 KiB) Прегледано 453 пъти

Общият връх естествено ще бъде центърът [tex]O[/tex] на основата, а допирните линии на конусите с равнината, са радиуси на вписаната в основата окръжност, построени в допирните ѝ точки с основните ръбове. Особено внимание ще обърнем на отсечките [tex]OT[/tex] и [tex]OI[/tex], които са ревни, защото са образуващи на еднаквите конуси.

Сечение на пирамидата и осно сечение на конус.png (7.69 KiB) Прегледано 452 пъти

Сега вече почти всичко се вижда от чертежа. Образуващите [tex]OP, OK, OT[/tex] на конусите, както и "желязното" отношение
[tex]CO:OP=2:1[/tex] в основата на пирамидата - равностранния [tex]\triangle ABC[/tex], ни дават най-важната информация - правоъгълният [tex]\triangle OCT[/tex] има ъгъл [tex]30^\circ[/tex]. Оттук загадката се разплита бързо.
[tex]a=2\sqrt{3}t[/tex]

[tex]t=\frac{4\sqrt{3}}{3}t[/tex]
[tex]h=\frac{2}{\sqrt{3}}[/tex]
А търсеният ъгъл [tex]\angle KOP[/tex], който има половинка [tex]\frac{\varphi}{2}[/tex] , за която [tex]\angle IOP= \angle IOK = \angle OMP[/tex]
и има [tex]tg \frac{\varphi}{2}= \frac{t}{h}=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]

[S.B.]

Чудесно решение!