Четири сфери в една призма...

[S.B.]

Без заглавие (54).png (254.17 KiB) Прегледано 446 пъти

Три сфери с радиуси $r$ лежат върху основата на правилна триъгълна призма,като всяка се допира до две сфери и до две околни стени на призмата.Върху тези сфери лежи четвърта,която се допира до трите околни стени и до горната основа на призмата.Да се намери височината на призмата.

[KOPMOPAH]

Задача за ценители!

Добре-2.gif (40.86 KiB) Прегледано 430 пъти

[Nathi123]

Какво значи три сфери лежат върху основата на правилна триъгълна призма и какво значи върху тях да лежи четвърта сфера ?

[KOPMOPAH]

Четири сфери в една призма....3D.png (37.6 KiB) Прегледано 388 пъти

Какво значи три сфери лежат върху основата на правилна триъгълна призма и какво значи върху тях да лежи четвърта сфера ?

Означава, че всяка от трите сини сфери се допира до другите две, до две околни стени на призмата и до основата.

Червената сфера е легнала във вдлъбнатината между трите допиращи се сини сфери и така се допира и до трите (на чертежа съм дал две от допирните точки $K$ и $L$ на голямата сфера и сферите с център т.$O_1$ и т.$O_2$ съответно). В същото време тя се допира и до трите околни стени, както и до горната основа в т.$J$.

Четири сфери в една призма....2D.png (17.63 KiB) Прегледано 388 пъти

На втория чертеж е дадено сечението на призмата с равнина, минаваща през центровете на малките сфери. Червеният кръг е ПРОЕКЦИЯТА на сечение, минаващо през центъра на голямата сфера.

Опорни точки за решаване:

- Намиране на страната на основата - получих $a=r(2+2\sqrt 3)$;
- Намиране на радиуса R на голямата сфера като радиус на вписаната в основата окръжност - получих $R=r\frac {\sqrt 3}3+1$;
- Намиране на височината на правилна триъгълна пирамида $O_1O_1O_3O$, където $O$ е центърът на голямата сфера. Околните ръбове на пирамидата са с дължина $r+R$, за височината на пирамидата получих $h=\frac 13\sqrt{12\sqrt 3+27}$, очаквам някой да ми намери грешката и да си получа заслуженото!
- Намиране на височината на призмата като сума на радиуса на малките сфери, височината на пирамидата $O_1O_1O_3O$ и радиуса на голямата сфера.

[S.B.]

Опорни точки за решаване:

- Намиране на страната на основата - получих $a=r(2+2\sqrt 3)$;
- Намиране на радиуса R на голямата сфера като радиус на вписаната в основата окръжност - получих $R=r\frac {\sqrt 3}3+1$;
- Намиране на височината на правилна триъгълна пирамида $O_1O_1O_3O$, където $O$ е центърът на голямата сфера. Околните ръбове на пирамидата са с дължина $r+R$, за височината на пирамидата получих $h=\frac 13\sqrt{12\sqrt 3+27}$, очаквам някой да ми намери грешката и да си получа заслуженото!
- Намиране на височината на призмата като сума на радиуса на малките сфери, височината на пирамидата $O_1O_1O_3O$ и радиуса на голямата сфера.

Прекрасно!Няма грешка!
[tex]2r + R + h = \frac{r}{3}(6 + \sqrt{3} + \sqrt{12\sqrt{3} + 27})[/tex]

[Nathi123]

Решението на задачата е красиво.Поздравления!

[KOPMOPAH]

Решението на задачата е красиво.Поздравления!

Благодаря! То решението е според задачата...