Права призма и пирамида ...

[S.B.]

Права призма и пирамида имат за обща основа равностранен триъгълник със страна $b$ и са разположени от една и съща страна на тази основа.Две околни стени на пирамидата са перпендикулярни на равнината на основата,а равните околни ръбове образуват помежду си ъгъл [tex]\alpha[/tex] .Определете обема на призмата,ако височината й е два пъти по - малка от височината на пирамидата.

[Davids]

От уважаемата колежка принципно съм свикнал на по-трудоемки стереометрични предизвикателства

Chertej.png (82.57 KiB) Прегледано 451 пъти

По дефиниция за синус имаме $sin\frac{\alpha}{2} = \frac{b}{2l}$, където $AD = CD = l$. Следователно $l = \frac{b}{2sin\frac{\alpha}{2}}$
Паралелно с това по питагорова теорема за еднаквите перпендикулярни стени имаме:
$\Rightarrow h^2 = l^2 - b^2 = b^2(\frac{1}{4sin^2\frac{\alpha}{2}} - 1)$
$\Rightarrow h = b\sqrt{\frac{1}{4sin^2\frac{\alpha}{2}} - 1} = \frac{b}{2sin\frac{\alpha}{2}}\sqrt{1 - 4sin^2\frac{\alpha}{2}} = \frac{b}{2sin\frac{\alpha}{2}}\sqrt{2cos^2\frac{\alpha}{2} + 1}$

Окончателно обемът на призмата е:
$V = \frac{\sqrt{3}b^2}{3}.\frac{b}{2sin\frac{\alpha}{2}}\sqrt{2cos^2\frac{\alpha}{2} + 1} = \boxed{\frac{\sqrt{3}b^3}{6sin\frac{\alpha}{2}}\sqrt{2cos^2\frac{\alpha}{2} + 1}}$

[S.B.]

От уважаемата колежка принципно съм свикнал на по-трудоемки стереометрични предизвикателства

Уважаеми колега,от месец април на показания адрес Ви очакват два конуса... Може би е дошло време да им обърнете внимание ?

viewtopic.php?f=55&t=23361