Правилен многостен

[Добромир Глухаров]

Даден е правилен многостен с $n$ стени - еднакви многоъгълници и вътрешна точка $M$. Нека сумата от разстоянията от връх на многостена до стените му е равна на $H$. Да се намери минималната стойност на сумата от квадратите на разстоянията от точка $M$ до стените на многостена. Къде се намира точка $M$ при достигане на този минимум?

[Knowledge Greedy]

Пиша от телефон, затова кратко.
Отговорът е [tex]\frac{Н^2}{n}[/tex]
Използваме три факта.
1. Идеята за разстоянията от произволна вътрешна точка до страните на равностранен триъгълник, че общо са колкото височината му. Фактически в задачата на Добромир използваме обобщение както по брой на страните, така и по размерност.
2. Идеята за получаване обема на многостена като го представим като сбор от обемите на n на брой пирамиди (интегралното смятане .
3. Неравенството между средно квадратичното и средно аритметичното.
Що се отнася до местоположението на точката М, когато се достига минимума - от горното неравенство следва, че е центърът на многостена.