стереометрия

[mon4eto]

Точките M u N са съответно среди на околните ръбове CC1 u BB1 на правилната четириъгълна призма ABCDA1B1C1D1. Ако АА1 = 2AB, докажете, че ъгълът между правите AN u BM е равен на 60∘.

[Knowledge Greedy]

С малко пространствено въображение, [tex]4 \times[/tex] теорема на Питагор и една косинусова теорема излиза (- виж края), че [tex]cos\angle ANC_1 = -\frac{1}{2}[/tex]
От тази гледна точка изглежда, че наистина [tex]\triangle ACC_1[/tex] е правоъгълен , а също [tex]\triangle ABN[/tex] и [tex]\triangle BNC_1[/tex](Защо наистина всеки от тях е правоъгълен?)

Правилната четириъгълна призма 3.png (9.65 KiB) Прегледано 378 пъти

Тук се демонстрира четвъртата теорема на Питагор - за [tex]\triangle ACC_1[/tex] - намерен е телесния диагонал [tex]AC_1=a\sqrt{6}[/tex] на призмата.
Преди нея - за триъгълник [tex]\triangle ABC[/tex] и с нейна помощ е открит диагонала [tex]AC=a\sqrt{2}[/tex]
С втората - за триъгълник [tex]\triangle ABN[/tex] е открита отсечката [tex]AN=a\sqrt{2}[/tex]
Третата питагорова теорема - за триъгълник [tex]\triangle NMC_1[/tex] ни дава страната [tex]NC_1=a\sqrt{2}[/tex] от триъгълника [tex]\triangle ANC_1[/tex], на чиито ъгъл сe бяхме заканили в условието.

Правилната четириъгълна призма.png (9.28 KiB) Прегледано 378 пъти

От този ракурс ъгълът [tex]\angle ANC_1[/tex] започва "да прилича на себе си" - [tex]120^\circ[/tex].

Остава да приложим косинусовата теорема за [tex]\triangle ANM[/tex]
[tex]AC_1^2=AN^2+NC_1^2-2AN.NC_1cos \angle ANC_1 \,\ \Rightarrow \,\ (a\sqrt{6})^2=(a\sqrt{6})^2+(a\sqrt{2})^2-(a\sqrt{2}).(a\sqrt{2})cos \angle ANC_1[/tex]
и
[tex]cos \angle ANC_1=-\frac{1}{2}[/tex], което означава, че отсечките [tex]AN[/tex] и [tex]BM[/tex] сключват ъгъл [tex]120^\circ[/tex], а ъгълът между правите [tex]AN[/tex] и [tex]BM[/tex] e [tex]60^\circ[/tex].

[S.B.]

Без заглавие (86).png (309.47 KiB) Прегледано 360 пъти

Точките M u N са съответно среди на околните ръбове CC1 u BB1 на правилната четириъгълна призма ABCDA1B1C1D1. Ако АА1 = 2AB, докажете, че ъгълът между правите AN u BM е равен на 60∘.

Ето и още едно мнение

[tex]AN[/tex] и $BN$ са кръстосани.За да се определи ъгъла между тях правя следното построение:
По пресичащите се прави $AB$ и $BM$ построявам равнина $\gamma$ $\begin{cases}\gamma \cap (BCC_{1 }B_{1 }) = BM\\ \gamma\cap (ADD_{1 }A_{1 }) = AM_{1 } \end{cases} ,(ADD_{1 }A_{1 }) || (BCC_{1 }B_{1 }) \Rightarrow BM || AM_{1 }$
$\triangle BCM \cong \triangle ADM_{1 } $ - правоъгълни ,$BC = AD = a , \angle CBM = \angle DAM_{1 }$ ( като ъгли с взаимно усп.рамене)
$\Rightarrow AM_{1 } = BM$
За $\triangle BCM \rightarrow BM = a\sqrt{2} $ ( по Питагор ) $ \Rightarrow AМ_{1 } = а\sqrt{2}$
За $\triangle ABN \rightarrow AN = a\sqrt{2}$ по Питагор
За $DBNM_{1 } \rightarrow BN = DM_{1 } = a , BN || DM_{1 } \Rightarrow M_{1 }N = DB = a\sqrt{2}$ ($DB$ е диагонал в основата.която е квадрат)
Получихме за $\triangle ANM_{1 }$ че $AM_{1 } = AN = M_{1 }N = a\sqrt{2} \Rightarrow $ триъгълникът е равностранен и $\angle NAM_{1 } = \angle (AN,BM) = 60^\circ$

[KOPMOPAH]

Правилна четириъгълна призма.png (17.29 KiB) Прегледано 346 пъти

Ето още два подхода към задачата:

1. Когато видим прави ъгли и се търси ъгъл, веднага трябва да се сетим за скаларно произведение на вектори.
$$\vec {AN}=\vec {AB}+\vec {BN},~~\vec {BM}=\vec {BC}+\vec {BN}$$ $$|\vec {AN}|=a\sqrt 2,~~|\vec {BM}|=a\sqrt 2$$Изразяваме скаларното произведение:$$\vec {AN}.\vec {BM}=a\sqrt 2.a\sqrt 2.\cos \varphi~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(1),$$където $ \varphi$ е ъгълът между векторите.
В същото време:$$\vec {AN}.\vec {BM}=\vec {AB}.\vec {BC}+\vec {AB}.\vec {BN}+\vec {BN}.\vec {BC}+\vec {BN}.\vec {BN}=0+0+0+a^2=a^2~~(2)$$
От $(1)$ и $(2)$ получаваме:$$\left(a\sqrt 2\right)^2\cos \varphi=a^2\Rightarrow\cos \varphi =\frac12 \Rightarrow \varphi =60^\circ$$

2. Има и още по-кратък начин - ако разгледаме тялото $ABCDN_1NMM_1$ ще забележим, че то е куб, а отсечките $AN$, $BM$ (равна от своя страна на $AM_1$) и $NM_1$ са диагонали на страните му и са (естествено) равни, откъдето $\triangle ANM_1$ е равностранен... и т.н.