Диагонални сечения...

[S.B.]

За основа на четириъгълна пирамида $MABCD$ служи ромб със страна $a$ и остър ъгъл [tex]\alpha[/tex]. Височината на пирамидата $MH$ минава през един от основните ръбове.Едното от диагоналните сечения на пирамидата сключва с равнината на основата ъгъл с големина $\varphi_{1 }$ , а другото - ъгъл с големина $\varphi_{2 }$.Да се намери обема $V_{MABCD } = ?$.

Скрит текст: покажи

Повтаря се "на пирамидата,на пирамидата" ,ама така е дадено условието.... съжалявам

[KOPMOPAH]

Диагонални сечения.png (28.24 KiB) Прегледано 501 пъти

Отговорът доближава ли се до$$V=\frac 16 \frac{a^3\sin\alpha}{\operatorname{cotg}{\varphi_1}\cos \left(\displaystyle \frac {\displaystyle \alpha} 2\right) +\cotg{\varphi_2}\sin\left(\displaystyle \frac {\alpha}2 \right)} ?$$

Скрит текст: покажи

... с точност до индекс на $\varphi$ и тригонометрични преобразования?

[S.B.]

Диагонални сечения.png

Отговорът доближава ли се до$$V=\frac 16 \frac{a^3\sin\alpha}{\operatorname{cotg}{\varphi_1}\cos \left(\displaystyle \frac {\displaystyle \alpha} 2\right) +\cotg{\varphi_2}\sin\left(\displaystyle \frac {\alpha}2 \right)} ?$$

Скрит текст: покажи

... с точност до индекс на $\varphi$ и тригонометрични преобразования?

Скрит текст: покажи

Да, ама да бяхте разписал и решението ...

[KOPMOPAH]

Oбозначаваме височината на пирамидата с $h$. Нейната пета на страната $AD$ е т.$H$. От тази точка спускаме перпендикуляри към диагоналите, $HF\bot OD$, $HE \bot AO$.
$$HF=h.\operatorname {cotg}\varphi_1, HE=h. \cotg \varphi_2$$


Разглеждаме двойки подобни триъгълници:

$1.$ $\triangle HFD \approx \triangle AOD$, т.$O$ е пресечената точка на диагоналите, забравил съм да я обознача на чертежа
От подобието следва, че$$\frac{HF}{AO}=\frac{DH}{DA}~~~~~~~~~~~~~~~~(1)$$
$2.$ $\triangle AHE \approx \triangle AOD$
От подобието следва, че$$\frac{HE}{DO}=\frac{AH}{DA}~~~~~~~~~~~~~~~~(2)$$

Събирайки левите и десни страни на равенства $(1)$ и $(2)$ получаваме$$\frac{HF}{AO}+\frac{HE}{DO}=\underbrace{\frac{DH}{DA}+\frac{AH}{DA}}_{=1}=1~~~~~~(3)$$
Като заместим в равенство $(3)$ и извършим действията, трябва да се получи$$\frac{h\cotg\varphi_1}{a\cos \left(\displaystyle\frac{ \alpha}2\right)}+\frac{h\cotg\varphi_2}{a\sin \left(\displaystyle\frac{ \alpha}2\right)}=1$$откъдето $$h=\frac 12\frac{a\sin \alpha}{\cotg\varphi_1\sin \left(\displaystyle\frac{ \alpha}2\right)+\cotg\varphi_2\cos \left(\displaystyle\frac{ \alpha}2\right)}$$
Лицето на ромба е $$S=a^2\sin \alpha,$$ следователно обемът е $$V=\frac 13\frac 12a^2\sin \alpha\frac{a\sin \alpha}{\cotg\varphi_1\sin \left(\displaystyle\frac{ \alpha}2\right)+\cotg\varphi_2\cos \left(\displaystyle\frac{ \alpha}2\right)}=\frac 16\frac{a^3\sin^2 \alpha}{\cotg\varphi_1\sin \left(\displaystyle\frac{ \alpha}2\right)+\cotg\varphi_2\cos \left(\displaystyle\frac{ \alpha}2\right)}$$

Скрит текст: покажи

... с поправката на Дора Букурещлиева