Ъгъл между права и равнина

[Гост]

Може ли помощ с тези четири задачки?

[KOPMOPAH]

$1.$ Триъгълникът $\triangle CDO$ е равностранен (ясно защо), $CD=DO=OC=a$, но $OD=l\cos \alpha$, следователно отговор а).

$\rule{16cm}{0.1pt}$




$2.$ След като околните ръбове са равни, значи проекцията на върха $M$ е в центъра на описаната около основата окръжност. За правоъгълния триъгълник този център е средата на хипотенузата, отбелязана на чертежа с $D$. Съответно $BD=CD=AD=\frac a2$, $\triangle ABM$ е равностранен, равнината $(ABM)$ е перпендикулярна на равнината $(ABC)$, значи два от търсените ъгли са ъглите в $\triangle ABM$, а косинусът на третия е $\frac {CD}{CM}=\frac 12$, трите търсени ъгъла са по $60^\circ$, следователно отговор б).

[Гост]

$1.$ Триъгълникът $\triangle CDO$ е равностранен (ясно защо), $CD=DO=OC=a$, но $OD=l\cos \alpha$, следователно отговор а).

$\rule{16cm}{0.1pt}$




$2.$ След като околните ръбове са равни, значи проекцията на върха $M$ е в центъра на описаната около основата окръжност. За правоъгълния триъгълник този център е средата на хипотенузата, отбелязана на чертежа с $D$. Съответно $BD=CD=AD=\frac a2$, $\triangle ABM$ е равностранен, равнината $(ABM)$ е перпендикулярна на равнината $(ABC)$, значи два от търсените ъгли са ъглите в $\triangle ABM$, а косинусът на третия е $\frac {CD}{CM}=\frac 12$, трите търсени ъгъла са по $60^\circ$, следователно отговор б).

Благодаря! Може ли и другите?

[KOPMOPAH]

Благодаря! Може ли и другите?

Може.



След като $CD$ е перпендикулярен, значи $\triangle ACD$ и $\triangle BCD$ са правоъгълни, $AD$ и $BD$ са хипотенузи, което ще рече по-големи от другите $4$ ръба и остава да са равни червените ръбове.
В един правоъгълен триъгълник като $\triangle ACD$ ако катетите му са равни, то какъв ъгъл сключват те с хипотенузата?







Точка $O$ е проекцията на върха $M$ върху равнината на основата. Равните отсечки (околните ръбове) имат равни проекции, следователно:$$OA=OB=OC$$ и точката $O$ е центърът на описаната около $\triangle ABC$ окръжност. В нея $OA$, $OB$ и $OC$ са радиуси. По синусова теорема:$$\frac a{\sin \alpha}=2R\Rightarrow R=\frac a{2\sin \alpha}$$ От друга страна $$\frac hR=\operatorname {tg}\beta\Rightarrow h=R\tg\beta=\frac{a\tg\beta}{2\sin \alpha}$$
Отговор ...

[Гост]

Благодаря! Може ли и другите?

Може.



След като $CD$ е перпендикулярен, значи $\triangle ACD$ и $\triangle BCD$ са правоъгълни, $AD$ и $BD$ са хипотенузи, което ще рече по-големи от другите $4$ ръба и остава да са равни червените ръбове.
В един правоъгълен триъгълник като $\triangle ACD$ ако катетите му са равни, то какъв ъгъл сключват те с хипотенузата?







Точка $O$ е проекцията на върха $M$ върху равнината на основата. Равните отсечки (околните ръбове) имат равни проекции, следователно:$$OA=OB=OC$$ и точката $O$ е центърът на описаната около $\triangle ABC$ окръжност. В нея $OA$, $OB$ и $OC$ са радиуси. По синусова теорема:$$\frac a{\sin \alpha}=2R\Rightarrow R=\frac a{2\sin \alpha}$$ От друга страна $$\frac hR=\operatorname {tg}\beta\Rightarrow h=R\tg\beta=\frac{a\tg\beta}{2\sin \alpha}$$
Отговор ...

Благодаря!