Меню
Надявам се някой да може да я реши.
Основата на права призма е равнобедрен трапец АВСD със страни АВ = 2.ВС = 2.СD = 2.AD = 4 см. и лице на диагоналното сечение по диагонал на трапец равно на 6 см2. Намерете отношението на обема на призмата към пълната повърхнина.
Регистрация не е нужна, освен при създаване на тема в "Задача на седмицата".
призма
4 мнения
• Страница 1 от 1
Re: призма
от S.B. » 10 Апр 2020, 16:38
\ne
Първо ще се занимаем с основата [tex]ABCD[/tex]
$DC = CB \Rightarrow \triangle DCB$ е равнобедрен $\Rightarrow \angle DBC = \angle BCD = \alpha ; \angle CDB = \angle ABD = \alpha$ (като кръстни ъгли)
За $\triangle ABD $ Прилагам Синусова теорема:
$\frac{AB}{sin\angle ADB} = \frac{AD}{sin \angle ABD} \Leftrightarrow \frac{4}{sin(180 - 3\alpha)} = \frac{2}{sin\alpha} \Leftrightarrow \frac{2}{sin3\alpha} = \frac{1}{sin\alpha} \Leftrightarrow 2sin\alpha - sin3\alpha= 0$
$2sin\alpha - 3sin\alpha + 4sin^{2}\alpha = 0 \Leftrightarrow 4sin^{2}\alpha - sin\alpha = 0 \Leftrightarrow sin\alpha( 4sin^{2}\alpha - 1) = 0$
Д.М.:$\alpha \in ( 0^\circ; 45^\circ) ; sin\alpha > 0 $
$sin\alpha \ne0 \Rightarrow 1 - 4sin^{2}\alpha = 0 \Leftrightarrow sin\alpha = \pm \frac{1}{2}$ от Д.М. $ sin\alpha = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 30^\circ$
За $\triangle DBC$ прилагам Косинусова теорема :
$DB^{2} = DC^{2} + BC^{2} - 2.DC.BC.cos(180^\circ - 2\alpha) = 4 + 4 + 2.4 .\frac{1}{2} = 12 \Rightarrow DB = 2\sqrt{3}$
От $\triangle DHB \rightarrow DH = \sqrt{3}$ (лежи срещу $30^\circ$)
$S_{ABCD } = \frac{AB + CD}{2}.DH = 3\sqrt{3}$
Към призмата : $S_{DBB_{1 }D_{1 } } = 6 \Leftrightarrow DB.h = 6 \Leftrightarrow 2\sqrt{3}.h = 6 \Rightarrow h = \sqrt{3}$
$ V = S_{ABCD }.h = 3\sqrt{3}.\sqrt{3} = 9$
$S_{ок } = P_{ABCD }.h = 10\sqrt{3} $
$S_{пълна } = 10\sqrt{3} + 6\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$
$\frac{V}{S_{п }} = \frac{9}{16\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{16}$
- Без заглавие - 2020-04-10T161744.512.png (267.74 KiB) Прегледано 330 пъти
referi написа:Основата на права призма е равнобедрен трапец АВСD със страни АВ = 2.ВС = 2.СD = 2.AD = 4 см. и лице на диагоналното сечение по диагонал на трапец равно на 6 см2. Намерете отношението на обема на призмата към пълната повърхнина.
Първо ще се занимаем с основата [tex]ABCD[/tex]
$DC = CB \Rightarrow \triangle DCB$ е равнобедрен $\Rightarrow \angle DBC = \angle BCD = \alpha ; \angle CDB = \angle ABD = \alpha$ (като кръстни ъгли)
За $\triangle ABD $ Прилагам Синусова теорема:
$\frac{AB}{sin\angle ADB} = \frac{AD}{sin \angle ABD} \Leftrightarrow \frac{4}{sin(180 - 3\alpha)} = \frac{2}{sin\alpha} \Leftrightarrow \frac{2}{sin3\alpha} = \frac{1}{sin\alpha} \Leftrightarrow 2sin\alpha - sin3\alpha= 0$
$2sin\alpha - 3sin\alpha + 4sin^{2}\alpha = 0 \Leftrightarrow 4sin^{2}\alpha - sin\alpha = 0 \Leftrightarrow sin\alpha( 4sin^{2}\alpha - 1) = 0$
Д.М.:$\alpha \in ( 0^\circ; 45^\circ) ; sin\alpha > 0 $
$sin\alpha \ne0 \Rightarrow 1 - 4sin^{2}\alpha = 0 \Leftrightarrow sin\alpha = \pm \frac{1}{2}$ от Д.М. $ sin\alpha = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 30^\circ$
За $\triangle DBC$ прилагам Косинусова теорема :
$DB^{2} = DC^{2} + BC^{2} - 2.DC.BC.cos(180^\circ - 2\alpha) = 4 + 4 + 2.4 .\frac{1}{2} = 12 \Rightarrow DB = 2\sqrt{3}$
От $\triangle DHB \rightarrow DH = \sqrt{3}$ (лежи срещу $30^\circ$)
$S_{ABCD } = \frac{AB + CD}{2}.DH = 3\sqrt{3}$
Към призмата : $S_{DBB_{1 }D_{1 } } = 6 \Leftrightarrow DB.h = 6 \Leftrightarrow 2\sqrt{3}.h = 6 \Rightarrow h = \sqrt{3}$
$ V = S_{ABCD }.h = 3\sqrt{3}.\sqrt{3} = 9$
$S_{ок } = P_{ABCD }.h = 10\sqrt{3} $
$S_{пълна } = 10\sqrt{3} + 6\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$
$\frac{V}{S_{п }} = \frac{9}{16\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{16}$
Последна промяна S.B. на 10 Апр 2020, 17:33, променена общо 1 път
Никой любовен роман не е разплакал толкова много хора,колкото учебникът по математика.
Ако нещо мърда - това е биология,ако мирише -това е химия,ако има сила - това е физика,а ако нищо не разбираш - това е математика
Ако нещо мърда - това е биология,ако мирише -това е химия,ако има сила - това е физика,а ако нищо не разбираш - това е математика
Re: призма
от referi » 10 Апр 2020, 17:22
Благодаря много.
И също така мисля, че имате грешка при пресмятането на лицето на пълната по повърхнина
И също така мисля, че имате грешка при пресмятането на лицето на пълната по повърхнина
Re: призма
от S.B. » 10 Апр 2020, 17:35
referi написа:Благодаря много.
И също така мисля, че имате грешка при пресмятането на лицето на пълната по повърхнина
И аз благодаря!Поправих грешката.
Никой любовен роман не е разплакал толкова много хора,колкото учебникът по математика.
Ако нещо мърда - това е биология,ако мирише -това е химия,ако има сила - това е физика,а ако нищо не разбираш - това е математика
Ако нещо мърда - това е биология,ако мирише -това е химия,ако има сила - това е физика,а ако нищо не разбираш - това е математика
4 мнения
• Страница 1 от 1
Кой е на линия
Регистрирани потребители: Google [Bot]