Разстояние от връх до равнина

[Гост]

Дадена е правилна четириъгълна призма ABCDA1B1C1D1. Да се намери разстоянието от върха C до равнината BDC1, ако основният ръб е a, а височината е h.

[KOPMOPAH]

Разстояние от връх до равнина.png (11.52 KiB) Прегледано 368 пъти

Един от възможните подходи може да е следният - да се изрази обема на пирамидата $BCDC_1$ по два начина, единия път с основа $\triangle BCD$ и височина $CC_1=h$ и още един път - като за основа служи $\triangle BC_1D$, а височина е търсеното разстояние $x$.
В първия случай обемът е:$$V=\frac {a^2h}6$$Във втория случай като начало трябва да се намери лицето на $\triangle BC_1D$. Неговите страни са $BC_1=DC_1=\sqrt{a^2+h^2}$ и $BD=a\sqrt 2$. По формулата на Херон лицето е:$$S=\sqrt{\left(\sqrt{a^2+h^2}+a\frac{\sqrt 2}2\right)\left(\sqrt{a^2+h^2}-a\frac{\sqrt 2}2\right)\left(a\frac{\sqrt 2}2\right)\left(a\frac{\sqrt 2}2\right)}=...=\frac a2\sqrt{a^2+2h^2}$$Тогава за обема получаваме:$$V=\frac 13.\frac a2\sqrt{a^2+2h^2}.x$$
Остана само да приравним двата израза за обемите и да решим спрямо $x$:$$\frac 13.\frac a2\sqrt{a^2+2h^2}.x=\frac {a^2h}6\Rightarrow x=\frac {ah\sqrt{a^2+2h^2}}{a^2+2h^2}$$