Помощ със задача по математика Стереометрия

[Гост]

Условие: Околните ръбове AM, BM, CM и DM на пирамидата ABCDM сключват с основата равни ъгли с големина [tex]\alpha[/tex]. Намерете обема на пирамидата, ако AB=1, BC=2, CD=2 и AD=3.
Благодаря предварително! !

[Davids]

Щом околните ръбове сключват с равнината на основата равни ъгли, значи върхът на пирамидата се проектира върху центъра на описаната около основата окръжност (т.е. $ABCD$ е вписан четириъгълник, също).

По формулата на Brahmagupta за вписан четириъгълник можем да намерим лицето на основата по четирите й страни:
$p = \frac{1 + 2 + 2 + 3}{2} = 4$
$B = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)} = \sqrt{3.2.2.1} = 2\sqrt{3}$

По по-малко известната формула на Parameshvara можем пък директно да намерим радиуса на описаната окръжност по четирите страни на основата:
$R = \frac{1}{4B}\sqrt{(ab + cd)(ac + bd)(ad + bc)} = \frac{1}{8\sqrt{3}}\sqrt{(2 + 6)(2 + 6)(3 + 4)} = \sqrt{\frac{7}{3}}$

Остана да отбележим, че височината на пирамидата $h = Rtg\alpha = \sqrt{\frac{7}{3}}tg\alpha$ и така окончателно обемът на пирамидата възлиза на:

$V = \frac{Bh}{3} = \frac{2\sqrt{3}.\sqrt{\frac{7}{3}}tg\alpha}{3} = \frac{2\sqrt{7}}{3}tg\alpha$

Разбира се, не се очаква (ако не си ги изучавал) да познаваш тези хитри полезни формули, но със сигурност помагат. Алтернатива на тази сметка е усърдната работа с по-приимитивни пособи (теорема на Птолемей, косинусова теорема и т.н.). Но ще те оставя да се опиташ сам с тях, накрая може да сверим резултатите. Ако нещо още те тормози, давай да го умуваме, ама не наготово.

[Nathi123]

За определяне на радиуса на описаната около чет.ABCD окръжност може да използваме следното:да означим
ъгъл BAD=[tex]\beta\Rightarrow \angle BCD=180^\circ - \beta[/tex]
От косинусова т-ма за триъг. ABD и триъг BCD получаваме,че [tex]BD^{2}=10-6cos\beta = 8-8c0s(180^\circ-\beta)\Leftrightarrow cos\beta =\frac{1}{7}[/tex]
[tex]\Rightarrow BD=\frac{8}{\sqrt{7}};sin\beta =\frac{4\sqrt{3}}{7}[/tex] От синусова т-ма за триъгABD[tex]\frac{BD}{sin\beta}=2R\Leftrightarrow R=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}[/tex].
[tex]MM_{1 }\bot(A,B,C)\Rightarrow \frac{MM_{1 }}{R}=tg\alpha\Leftrightarrow MM_{1 }=Rtg\alpha=\frac{\sqrt{7}tg\alpha}{\sqrt{3}}. S_{ABCD }=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle BCD}[/tex]
[tex]S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}1.3.sin\beta=\frac{2.3\sqrt{3}}{7};S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}.2.2.sin\beta \Rightarrow S_{ABCD }=2\sqrt{3}[/tex]
[tex]V=\frac{2\sqrt{7}tg\alpha}{3}.[/tex]