Прав паралелепипед

[Гост]

Всички ръбове на прав паралелепипед са равни на a, а един от ъглите на основата му е равен на 60°. Намерете диагоналите му.

[mail_dinko]

Призма с основа ромб ABCD, диагоналите са BD<AC. Диагоналите в ромба са ъглополовящи на съотв. ъгли, перепндикулярни помежду си и както във всеки успоредник взаимно се разполовяват.
[tex]AC \cap BD = O \Rightarrow \angle AOB = 90 ^\circ[/tex]
От питагоровата теорема се намират:
[tex]DB = 2OB = 2. \frac {a}{2}=a[/tex]
[tex]AC = 2AO = 2 \sqrt {a^2 - \frac {a^2}{4}}= a \sqrt {3}[/tex]
Разгл. правоъг. [tex]\triangle A_1AC, \angle A_1AC = 90 ^\circ \Rightarrow A_1C = \sqrt {4a^2}=2a[/tex]
Разгл. правоъг. [tex]\triangle D_1DB, \angle D_1DB = 90 ^\circ \Rightarrow D_1B = \sqrt {2a^2}=a \sqrt {2}[/tex]