Прав кръгов цилиндър, изрязан от плътно метално кълбо

[Mz123456789]

Задача: От плътно метално кълбо е изрязан прав кръгов цилиндър с възможно най-голямо лице на околната повърхнина. Да се намери отношението на обема на цилиндъра към обема на кълбото.

Технически университет- кандидат-студентски изпит от 14 юли 2008г.
Отговор:
[tex]\frac{3\sqrt{2}}{8}[/tex]

[S.B.]

Задача: От плътно метално кълбо е изрязан прав кръгов цилиндър с възможно най-голямо лице на околната повърхнина. Да се намери отношението на обема на цилиндъра към обема на кълбото.

Технически университет- кандидат-студентски изпит от 14 юли 2008г.
Отговор:
[tex]\frac{3\sqrt{2}}{8}[/tex]

Без заглавие - 2020-06-17T151729.663.png (239.33 KiB) Прегледано 348 пъти

Нека $h$ е височина на бъдещия цилиндър , $r$ - радиус на основата му, а $R$ е радиусът на кълбото
$0< h < 2R,0< r< R$
[tex]S_{ок. } = 2\pi.r.h[/tex]
От $\triangle ACD \rightarrow (2R)^{2} = (2r)^{2} + h^{2} \Rightarrow 2r = \sqrt{4R^{2} - h^{2}}$
Изразявам околната повърхнина като функциа на височината на бъдещия цилиндър:
$S_{ок }(h) = 2\pi.r.h \Leftrightarrow S(h) = \pi.h.\sqrt{4R^{2} - h^{2}}$
$S'(h) = \pi.\frac{4R^{2} - 2h^{2}}{\sqrt{4R^{2} - h^{2}}}$
$S'(h) \ge 0 \Rightarrow 4R^{2} - 2h^{2} \ge 0 \Leftrightarrow (R\sqrt{2} + h)(R\sqrt{2} - h) \ge 0$
За $h \in (0 , R\sqrt{2})$ функцията расте и за $h = R\sqrt{2}$ приема своя максимум
Получаваме :$h = R\sqrt{2} , r = \frac{R\sqrt{2}}{2} , V_{цил. } = \pi.r^{2}.h \Leftrightarrow V_{цил } = \frac{\pi.R^{3}\sqrt{2}}{2}$
$V_{к } = \frac{\pi.4R^{3}}{3}$
$\displaystyle\frac{V_{цил }}{V_{к }} = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\pi.R^{3}\sqrt{2}}{2}}{\displaystyle\frac{\pi.4R^{3}}{3}} = \displaystyle\frac{3\sqrt{2}}{8}$

[peyo]

Да разгледаме разрез през средата на цилиндъра който е центриран в сферата. Може би също трябва да докажем, че решението ще е при центриран цилиндър (за което имам идея).

kylbocilind1.png (323.17 KiB) Прегледано 343 пъти

Обема на кълбото е: $V_k = 4\pi R^3/3$
Обема на цилиндъра: $V_c=\pi r^2 h$
Страничното лице на цилиндъра: $S_c= 2\pi rh$
Явно трябва да изразим r и h в цилиндъра с най-голямо странично лице чрез R.
Първо да елиминираме h:
$r^2 + h^2/4=R^2$
$h = 2\sqrt{R^2 - r^2}$
$S_c= 4\pi r\sqrt{R^2 - r^2}$

За улеснение от тук нататък ще приемем, че R=1. И търсим максимума на тази функция:
$f_1(r)=4\pi r\sqrt{1 - r^2}$
Константите не са важни и ще ги махнем. Също така квадрата на тази функция ще има същия максимум затова ще работим върху новата по-лесна функция:
$f_2(r)=r^2(1 - r^2)$
И дори още по-лесна където $x=r^2$
$f_3(x)=x(1 - x) = x - x^2$
$f_3'(x)=1-2x = 0$
$x_1 = 1/2$
=>
Максимум $r =\sqrt{1/2}$
Така:
$V_{cmax}= \pi r^2 h = \pi r^2 2\sqrt{1 - r^2} = \pi \sqrt{1/2}= \frac{\pi\sqrt{2}}{2}$

$\frac{V_{cmax}}{V_k} = \frac { \frac{\pi\sqrt{2}} {2} } { \frac{4\pi}{3}} = \frac{3 \sqrt{2}}{8}$