Допирателна към прав кръгов конус

[S.B.]

Права,допирателна към прав кръгов конус,сключва с образувателната на конуса в точката на допиране остър [tex]\angle \alpha[/tex] ,а с равнината на основата $\angle \beta$.Да се определи $\angle \varphi$,който образувателната на конуса сключва с основата му.

[Knowledge Greedy]

Ако [tex]\alpha= 90^\circ[/tex], явно [tex]\beta = 0^\circ[/tex] и ъгълът [tex]\varphi[/tex] е произволен остър (зависи от конкретната конусна повърхнина).

Допирателната към конусната повърхнина дефинираме като допирателна към равнинна крива (през точка) от тази повърхнина, принадлежаща на нейната равнина.

С други думи в равнина, която пресича конуса, получаваме сечение. Интересува ни допирателната към контура на това сечение в тази равнина. Тази допирателна е допирателната към конуса.

От всевъзможните допирателни към това сечение избираме тази ([tex]t[/tex]), която сключва остър ъгъл [tex]\alpha[/tex] с образуващата ([tex]VP[/tex]) през допирната точка ([tex]T[/tex]).

Построяваме ортогоналната проекция ([tex]t_o[/tex]) на [tex]t[/tex] в равнината [tex]\lambda[/tex] на основата на конуса. Правата [tex]t_o[/tex] минава през ортогоналната проекция [tex]T_o[/tex] ([tex]T_o \in\lambda)[/tex] на допирната точка [tex]T[/tex].

Нека допирателната [tex]t[/tex] пресича равнината [tex]\lambda[/tex] на основата в точка [tex]L[/tex].

Получи се пирамида [tex]LPT_oT[/tex] - част от пирамидата [tex]LPOV[/tex], в която [tex]VO[/tex] е ос (височина) на конуса, [tex]OP[/tex] - негов радиус, [tex]LP[/tex] - допиртелна в точка [tex]P[/tex] към окръжността,
- контур на основата и разбира се образуващата [tex]VP[/tex] на конуса, минаваща през точката [tex]T[/tex].

За пирамидата [tex]LPT_oT[/tex] знаем [tex]\angle LPT=\alpha[/tex], [tex]\angle TLT_o = \beta[/tex], [tex]\angle LT_oT=90^\circ[/tex], [tex]\angle PT_oT=90^\circ[/tex] и [tex]\angle LPT_o= 90^\circ[/tex]

Търсим [tex]\angle TPT_o[/tex], който по условие е означен с [tex]\varphi[/tex].

С три определения на тригонометрични функции от правоъгълните триъгълници [tex]\triangle LTT_o[/tex], [tex]\triangle LPT[/tex] и [tex]\triangle TPT_o[/tex]

- съответно [tex]\frac{TT_o}{LT}=sin\beta[/tex], [tex]\frac{TP}{LT} =cos\alpha[/tex] и [tex]\frac{TT_o}{PT}=sin\varphi[/tex],

като умножим две от тези равенства - получаваме третото. В резултат [tex]\boxed{sin\varphi = \frac{sin\beta}{cos\alpha}}[/tex]

[S.B.]

Права,допирателна към прав кръгов конус,сключва с образувателната на конуса в точката на допиране остър [tex]\angle \alpha[/tex] ,а с равнината на основата $\angle \beta$.Да се определи $\angle \varphi$,който образувателната на конуса сключва с основата му.

Без заглавие - 2020-07-09T144116.169.png (329.97 KiB) Прегледано 490 пъти

Още един поглед върху задачата
Нека т.$M$ е точка от повърхнината на конуса.Построявам $SM$ - образувателната на конуса през т.$M$,която пресича окръжността на основата на конуса в т.$L$
Нека [tex]\delta[/tex] е равнината на която принадлежи основата на конуса.
Построявам $t_{1 }\begin{cases} t_{1 } z L \\ t_{1 }\bot OL \\t_{1 }\in\delta\end{cases}$ - това е допирателната към окръжността на основата в т.$L$ ,като $O$ е център на окръжността, $OL$ - радиус
Построявам равнина $\gamma$ по т.$M \notin t_{1 }$ и правата $t_{1 }$
Построявам права $t_{2 }\begin{cases} t_{2 } z M \\ t_{2 }||t_{1 }\\ t_{2 }\in \gamma\end{cases}$
Построявам допирателната към повърхнината на конуса :
$t\begin{cases} t z M \\ \angle (LM,t ) = \alpha\end{cases}$ , $\begin{cases} t\cap t_{2 } = M \\ t_{1 } || t_{2 } \end{cases} \Rightarrow t\cap t_{1 } = T$ ,$ \begin{cases} t_{1 }\in \delta\\ T\in t_{1 }\end{cases} \Rightarrow T\in \delta$
Построявам ортогоналната проекция на $M$ в равнината на основата - т.$P \in OL$
От $\triangle MPT \rightarrow \angle MTP = \beta$ (според условието)
$$\frac{MP}{MT} = sin\beta \Rightarrow MP = MT.sin\beta$$
За $\triangle MLT \rightarrow PL$ е ортогонална проекция на $LM$, но $t_{1 }\bot LP \Rightarrow ML\bot t_{1 } \Rightarrow ML\bot LT$ (по 3-те перпендикуляра)
$\triangle MLT$ е правоъгълен $\Rightarrow$ $$\frac{ML}{MT} = cos\alpha \Rightarrow ML = MT.cos\alpha$$
От$\triangle MPL \rightarrow \frac{MP}{ML} = sin\varphi$ (къедето $ \angle MLP = \varphi$ е ъгълът който образувателмата сключва с основата)
$$ sin \varphi = \frac{MP}{ML} = \frac{MT.sin\beta}{MT.cos\alpha} \Rightarrow sin\varphi = \frac{sin\beta}{cos\alpha}$$