12 клас - стереометрия

[Гост]

Разстоянията от точки A и B до равнината [tex]\alpha[/tex] са съответно 6см и 2 см. Намерете разстоянието от средата на отсечката AB до равнината, ако:
а) отсечката AB не пресича равнината [tex]\alpha[/tex]
б) отсечката AB пресича равнината [tex]\alpha[/tex]

[S.B.]

Разстоянията от точки A и B до равнината [tex]\alpha[/tex] са съответно 6см и 2 см. Намерете разстоянието от средата на отсечката AB до равнината, ако:
а) отсечката AB не пресича равнината [tex]\alpha[/tex]
б) отсечката AB пресича равнината [tex]\alpha[/tex]

Без заглавие - 2020-11-10T071351.933.png (275.92 KiB) Прегледано 510 пъти

а)
[tex]AA_{1 }\bot \alpha ,BB_{1 }\bot\alpha \rightarrow A_{1 }B_{1 }[/tex] е проекцията на $AB$ върху $\alpha$
Нека т.$M$ е среда на $AB$
$ММ_{1 }\bot \alpha \rightarrow M_{1 }$ е проекцията на $ М$ върху $\alpha$
$M\in AB \Rightarrow M_{1 }\in A_{1 }B_{1 }$ ( отсечка се проектира в отсечка)
Разглеждам трапеца $ABB_{1 }A_{1 }$
$М$ е среда на $AB$ , $MM_{1 } \bot \alpha , AA_{1 }\bot \alpha \Rightarrow MM_{1 } ||AA_{1 } \Rightarrow M_{1 }$ е среда на $A_{1 }B_{1 } \Rightarrow MM_{1 }$ е средна отсечка за трапеца
$$MM_{1 } = \frac{AA_{1 } + BB_{1 }}{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4$$

б)
Нека $AB \cap \alpha = P$
$AA_{1 }\bot\alpha , AA_{1 } = 2 , BB_{1 }\bot \alpha , BB_{1 } = 6 , M$ е среда на $AB$
$A_{1 }B_{1 }$ е проекция на $AB$ върху $\alpha$ , $MM_{1 }\bot \alpha \Rightarrow M_{1 }$ е проекция на $M$ в $\alpha,M_{1 }\in A_{1 }B_{1 }$
Построявам права $p\begin{cases} pZ A_{1 } \\ p|| AB \end{cases} , p \cap BB_{1 } = B_{2 } , p \cap MM_{1 } = M_{2 }$
$ABB_{2 }A_{1 }$ е успоредник (Защо?)
Разглеждам $\triangle A_{1 }B_{1 }B_{2 }$
$М_{1 }M_{2 }$ е средна отсечка в този триъгълник(Защо ?)
Следователно $M_{1 }M_{2 } = \frac{B_{1 }B_{2 }}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$$MM_{1 } = M_{1 }M_{2 } - MM_{2 } = 2$$