Тетраедър

[skadevil]

Здравейте! Може ли помощ с тази задача

[S.B.]

Без заглавие - 2021-01-21T170310.638.png (296.83 KiB) Прегледано 369 пъти

т.[tex]P \begin{cases} P\in AB \\ AP = PB \end{cases}[/tex] и т.$N \begin{cases} N \in CM\\ CN = NM \end{cases}$
$MP$ е медиана в $\triangle ABM $, а $CP$ е медиана в $\triangle ABC$
$\triangle ABC \cong \triangle ABM$ по първи признак ,равнобедрени,правоъгълни $ \Rightarrow MP = CP \Rightarrow \triangle MPC$ е равнобедрен
т.$N $ е среда на $CM \Rightarrow NP \bot CM$ (медиана,височина и ъглопловяща в равнобедрен триъгълник)
Построявам в $ \triangle ACM$ правата $NQ || AM ,Q\in AC$ и понеже $ N$ е среда на $ MC \rightarrow Q$ е среда на $AC$
В $\triangle ABC $ имаме:
$P$ - среда на $AB$ , $Q$ - среда на $АC \Rightarrow PQ$ е средна отсечка и $PQ || BC , BC \bot AB \Rightarrow PQ \bot AB$
$ NQ || AM, AM \bot (ABC) \Rightarrow NQ\bot (ABC) ,PQ \in (ABC) \Rightarrow NQ \bot PQ$
$PQ$ е проекция на $PN$ в равнината $(ABC),PQ \bot AB \Rightarrow PN \bot AB$ по теоремата за трите перпендикуляра

За $\triangle PQN$ :
$PQ = \frac{BC}{2} = \frac{a}{2}$ като средна отсечка
$NQ = \frac{AM}{2} = \frac{a}{2}$ като средна отсечка
$\angle PQN = 90^\circ$
$PN^{2} = 2.(\frac{a}{2}^{2}) \Rightarrow PN = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

[KOPMOPAH]

Тетраедър.png (7.8 KiB) Прегледано 354 пъти

Тъй като е известно, че векторите са измислени да тормозят учениците, ще покажа едно друго тяхно малко известно приложение, а именно - доказване на перпендикулярност.

Гледаме чертежа$$ |\overrightarrow {AM}|=|\overrightarrow {AB}|=|\overrightarrow {BC}|=a$$ $$\overrightarrow {NP}=\overrightarrow {AP}-\overrightarrow {AN}=\frac 12\overrightarrow {AB}-\frac 12\left(\overrightarrow {AM}+\overrightarrow {AC}\right)=\frac 12\overrightarrow {AB}-\frac 12\left(\overrightarrow {AM}+\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BC}\right)= \\ =\frac 12\overrightarrow {AB}-\frac 12\left(\overrightarrow {AM}+\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BC}\right)=\cancel{\frac 12\overrightarrow {AB}}-\frac 12\overrightarrow {AM}-\cancel{\frac 12\overrightarrow {AB}}-\frac 12\overrightarrow {BC}=-\frac 12\left(\overrightarrow {BC}+\overrightarrow {AM}\right)$$
Намираме скаларното произведение на $\overrightarrow {AB}$ и $\overrightarrow {NP}$ $$\overrightarrow {AB}\cdot\overrightarrow {NP}=\overrightarrow {AB}\cdot \left(-\frac 12\left(\overrightarrow {BC}+\overrightarrow {AM}\right)\right)=\underbrace{-\frac 12\overrightarrow {AB}\cdot\overrightarrow {BC}}_{=0,~защото~AB\bot BC}-\underbrace{\frac 12\overrightarrow {AB}\cdot\overrightarrow {AM}}_{=0,~защото~AB\bot AM}=0$$След като скаларното произведение на два вектора е $0$, значи те са перпендикулярни.

Сега да изразим $\overrightarrow {MC}$ и да намерим скаларното произведение на $\overrightarrow {MC}$ и $\overrightarrow {NP}$ $$ \overrightarrow {MC}=\overrightarrow {AC}-\overrightarrow {AM}=\overrightarrow {MB}+\overrightarrow {BC}-\overrightarrow {AM}$$ $$\left(\overrightarrow {MB}+\overrightarrow {BC}-\overrightarrow {AM}\right)\cdot\left(-\frac 12\left(\overrightarrow {BC}+\overrightarrow {AM}\right)\right)=-\frac 12\left(\overrightarrow {AB}\cdot\overrightarrow {BC}+\overrightarrow {BC}\cdot\overrightarrow {BC}-\overrightarrow {AM}\cdot\overrightarrow {BC}+\overrightarrow {AB}\cdot\overrightarrow {AM}+\overrightarrow {BC}\cdot\overrightarrow {AM}-\overrightarrow {AM}\cdot\overrightarrow {AM}\right)$$Изразът в последните скоби съдържа $4$ нулеви члена заради перпендикулярността на векторите, а $\overrightarrow {BC}\cdot\overrightarrow {BC}=a^2$, $-\overrightarrow {AM}\cdot\overrightarrow {AM}=-a^2$ и те също се унищожават.
В крайна сметка се получава, че скаларното произведение на $\overrightarrow {MC}$ и $\overrightarrow {NP}$ също е $0$, значи и те са перпендикулярни.

Дължината (модула) на вектора $\overrightarrow {NP}$ се намира по следния начин$$\overrightarrow {NP}=-\frac 12\left(\overrightarrow {BC}+\overrightarrow {AM}\right)\Rightarrow |\overrightarrow {NP}|=\sqrt{\left(-\frac 12\left(\overrightarrow {BC}+\overrightarrow {AM}\right)\right)^2}=\sqrt{\frac 14\left(\overrightarrow {BC}^2+2\overrightarrow {BC}\cdot\overrightarrow {AM}+\overrightarrow {AM}^2\right)}=\sqrt{\frac14\left(a^2+0+a^2\right)}=\frac {a\sqrt 2}2$$

[skadevil]

Благодаря!