Отношения

[Гост]

Здравейте, в момента учим стереометрия, но не ми е ясно как се решават задачи, където само ти е дадено отношението на нещо от прав конус/цилиндър, примерно:

"Равнина, успоредна на основата на прав кръгов конус, дели височината на конуса в отношение 1:2 от върха. Намерете отношението на обемите на получения към дадения конус"

Мисля, че трябва да се докаже че двете осни сечения са подобни триъгълници, от там някак си да се използва даденото отношение на височините, но не знам как!

Благодаря!

[S.B.]

"Равнина, успоредна на основата на прав кръгов конус, дели височината на конуса в отношение 1:2 от върха. Намерете отношението на обемите на получения към дадения конус"

Мисля, че трябва да се докаже че двете осни сечения са подобни триъгълници, от там някак си да се използва даденото отношение на височините, но не знам как!

А аз си мисля,че ако беше отворил учебника щеше да прочетеш ,че:

Повърхнината на успоредното сечение се отнася към повърхнината на основата на конуса тъй както квадратите на разстоянията им до върха на конуса

Ако повърхнината на основата отбележим с [tex]B[/tex], повърхнината на осното сечение с $B_{1 }$ тогава:
$\frac{B_{1 }}{B} = (\frac{x}{3x})^{2} \Leftrightarrow \frac{B_{1 }}{B} = \frac{1}{9} \Rightarrow B = 9B_{1 }$
Ако височината на новия конус е $h_{1 }$, то височината на стария конус е $h = 3h_{1 }$ (Защо?)
Новият конус има обем :$V_{1 } = \frac{B_{1 }h_{1 }}{3}$

Старият конус има обем $V = \frac{Bh}{3} = \frac{9B_{1 }.3h_{1 }}{3}$

Отношението :$\frac{V_{1 }}{V} = ....$
Удоволствието от намиране на отношението предоставям изцяло на теб!

[Гост]

Получих [tex]\frac{1}{27}[/tex]! Благодаря за пояснението!

[S.B.]

Получих [tex]\frac{1}{27}[/tex]! Благодаря за пояснението!

Браво! И още нещо запомни:

[tex]\frac{B_{1 }}{B} = (\frac{r_{1 }}{r})^{2} = (\frac{h_{1 }}{h})^{2}[/tex]

[tex]\displaystyle\frac{V_{1 }}{V} = (\displaystyle\frac{B_{1 }}{B})^{\displaystyle\frac{3}{2}} = (\displaystyle\frac{r_{1 }}{r})^{3} = (\displaystyle\frac{h_{1 }}{h})^{3}[/tex]