Правилна четириъгълна пирамида

[Henz]

Основния ръб на парвилна четириъгълна пирамида е a,а ъгълът между два съседни околни ръба е два пъти по-голям от ъгъла,който околните ръбове сключват с равнината на основата.Да се намери обемът.

[Martin Nikovski]

Чертеж към задачата.

Graphic1.jpg (13.79 KiB) Прегледано 23447 пъти

Имаме, че [tex]ABCDM[/tex] е правилна пирамида [tex]\Rightarrow[/tex] върхът [tex]M[/tex] се проектира ортогонално върху основата [tex]ABCD[/tex] в точка [tex]O[/tex], която е център на основата, т.е. пресечна точка на диагоналите на квадрата [tex]ABCD[/tex].
[tex]\left. M\to^{\cyr{ort.pr.}}_{(ABCD)} O \\ A\in (ABCD) \right\}\Rightarrow[/tex] [tex]AM\to^{\cyr{ort.pr.}}_{(ABCD)} AO[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] ъгълът между околния ръб [tex]AM[/tex] и основата [tex]ABCD[/tex] е всъщност ъгълът между [tex]AM[/tex] и ортогоналната проекция [tex]AO[/tex]. Иначе казано: [tex]\angle (AM, (ABCD))=\angle (AM,AO)=\angle MAO=\alpha[/tex]
Ъгълът между два съседни околни ръба ([tex]AM[/tex] и [tex]BM[/tex]) е [tex]\angle AMB=2\alpha[/tex] (според условието на задачата).

Разглеждаме [tex]\Delta AOM[/tex]:
[tex]M\to^{\cyr{ort.pr.}}_{(ABCD)} O[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle AOM=90^\circ[/tex]
[tex]AO=\frac{AC}{2 } =\frac{a\sqrt{2} }{2 }[/tex], тъй като [tex]AC[/tex] е диагонал в квадрата [tex]ABCD[/tex] със страна [tex]a[/tex].
[tex]\angle MAO=\alpha[/tex]
[tex]cos \angle MAO=\frac{AO}{AM }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]AM=\frac{AO}{cos \angle MAO } =\frac{\frac{a\sqrt{2} }{2 }}{cos \alpha } =\frac{a\sqrt{2} }{2cos\alpha }[/tex]

Разглеждаме [tex]\Delta ABM[/tex]:
[tex]AB=a[/tex], [tex]\angle AMB=2\alpha[/tex]
[tex]ABCDM[/tex] - правилна пирамида [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]AM=BM=\frac{a\sqrt{2} }{2cos\alpha }[/tex] - по доказателство.
За [tex]\Delta ABM[/tex]:
[tex]cos[/tex] [tex]T[/tex] [tex]\Rightarrow^{\cyr{sledstvie}}[/tex] [tex]cos\angle AMB=\frac{AM^2+BM^2-AB^2}{2AM.BM }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]cos 2\alpha=\frac{(\frac{a\sqrt{2} }{2cos\alpha })^2+(\frac{a\sqrt{2} }{2cos\alpha })^2-a^2}{ 2.\frac{a\sqrt{2} }{2cos\alpha }.\frac{a\sqrt{2} }{2cos\alpha }}[/tex]
[tex]cos2\alpha =\frac{\frac{2a^2}{4cos^2\alpha }+\frac{2a^2}{4cos^2\alpha }-\frac{a^2.4cos^2\alpha }{4cos^2\alpha } }{\frac{4a^2}{4cos^2\alpha } }=\frac{\frac{2a^2+2a^2-4a^2.cos^2\alpha }{\cancel{4cos^2\alpha } } }{\frac{4a^2}{\cancel{4cos^2\alpha } } }=\frac{\cancel{4a^2}(1-cos^2\alpha )}{\cancel{4a^2} }=1-cos^2\alpha[/tex]
[tex]cos2\alpha =1-cos^2\alpha[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]2cos^2\alpha -1=1-cos^2\alpha[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]3cos^2\alpha =2[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]cos^2\alpha =\frac{2}{3 }[/tex]
[tex]\angle AMB \in (0^\circ ;180^\circ )[/tex] (ъгъл в [tex]\Delta ABM[/tex]) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]2\alpha \in (0^\circ ;180^\circ )[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\alpha \in (0^\circ ;90^\circ )[/tex]
[tex]\left. cos^2\alpha =\frac{2}{3 }\\ \alpha \in (0^\circ ;90^\circ ) \right\}\Rightarrow[/tex] [tex]cos \alpha =+\sqrt{\frac{2}{ 3} }=\frac{\sqrt{6} }{3 }[/tex]
[tex]sin^2\alpha +cos^2\alpha =1[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]sin^2\alpha =1-cos^2\alpha =1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3 }[/tex]
[tex]\left. sin^2\alpha =\frac{1}{3 }\\ \alpha \in (0^\circ ;90^\circ ) \right\}\Rightarrow[/tex] [tex]sin \alpha =+\sqrt{\frac{1}{ 3} }=\frac{\sqrt{3} }{3 }[/tex]
[tex]tg\alpha =\frac{sin \alpha }{cos \alpha } =\frac{\frac{\sqrt{3} }{\cancel3 }}{\frac{\sqrt{6} }{\cancel3 } } =\frac{1}{\sqrt{2} }=\frac{\sqrt{2}}{2 }[/tex]

Разглеждаме [tex]\Delta AOM[/tex]:
[tex]AO=\frac{a\sqrt{2} }{2 }[/tex]
[tex]\angle AOM=90^\circ[/tex]
[tex]MO=h[/tex] - височина в пирамидата [tex]ABCDM[/tex].
[tex]tg \angle MAO=\frac{MO}{AO }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]MO=AO.tg \angle MAO[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]h=\frac{a\sqrt{2} }{2 }.\frac{\sqrt{2}}{2 }=\frac{a.\cancel2}{\cancel4 } =\frac{a}{2 }[/tex]
[tex]B=S_{ABCD}[/tex] - лицето на основата на пирамидата [tex]ABCDM[/tex].
[tex]ABCD[/tex] - квадрат [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]B=a^2[/tex]
[tex]V=\frac{B.h}{3 } =\frac{a^2.\frac{a}{2 } }{3 } =\frac{a^3}{6 }[/tex]

[kerry]

Graphic1.jpg (14.14 KiB) Прегледано 23440 пъти

Построяваме апотемата MN.

Триъгълницате AOM и MNA са еднакви по втори признак. Имат обща хипотенуза, по един прав ъгъл и по един ъгъл алфа.

OM = AN

h = a/2

B=.....

V=......

[Henz]

разбрах решението на Мартин.Мерси и на двамата ,на kerry не схванах как стана [tex]\frac{a/2}{ h} =\frac{AM}{AM }[/tex]

Не знаех какво е проекция,сега е ясно даже по трети начин я реших. [tex]\Delta ABM[/tex] е равнобедрен [tex]AN[/tex] се пада височина значи от това че е равнобедрен е ясно че [tex]AN=MN=a/2[/tex].И готово.

[savis_90]

Може и така ( пиша без обяснението в началото на зад.)
[tex]AB = a \Rightarrow AO =\frac{a \sqrt{2}}{2}[/tex]
В правоъгълния [tex]\Delta AOM[/tex] [tex]h = \frac{a \sqrt{2}}{2} tg\alpha[/tex]
В правоъгълния [tex]\Delta MNB[/tex] [tex]MN = \frac{BN}{tg\alpha} = \frac{a}{2tg\alpha}[/tex]
В правоъгълния [tex]\Delta MON[/tex] По Питагорова теорема [tex]MN^2 = h^2 + ON^2 \Rightarrow[/tex]
[tex]\frac{a^2}{4tg^2\alpha} = \frac{2a^2 tg^2\alpha}{4} + \frac{a^2}{4}[/tex]
[tex]\frac{a^2}{4tg^2\alpha} = \frac{2a^2 tg^2\alpha + a^2}{4}[/tex]
[tex]\frac{1}{tg^2\alpha} = 2tg^2\alpha + 1[/tex]
[tex]0 = 2tg^4\alpha + tg^2\alpha -1[/tex]
[tex]tg^2\alpha = x \Rightarrow x \ge 0[/tex]
[tex]2x^2 + x - 1 = 0[/tex]
[tex]D= 1 + 8 = 9[/tex]
[tex]x1 = \frac{1}{2}[/tex]
[tex]x2= -1[/tex] (не е решение)
[tex]tg^2 \alpha = \frac{1}{2}[/tex]
[tex]tg \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} (-\frac{1}{\sqrt{2}}[/tex] не е решение, защото h не е отриц.)
[tex]h = \frac{a\sqrt{2}}{2} \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{a}{2}[/tex]