Да се намери най-големият обем на правоъгълен паралелепипед

[WEBER]

Да се намери най-големият обем на правоъгълен паралелепипед, който е вписан в сфера с радиус 1.

[ganka simeonova]

Нека измеренията на паралелепипеда са [tex]a, b, c[/tex], а радиусът на описаната сфера е [tex]R[/tex].
Тогава телесният диагонал на паралелепипеда ще се яви и диаметър на сферата.
Тогава: [tex]4R^2=a^2+b^2+c^2[/tex]
Прилагаме СА-СГ=> [tex]4R^2=a^2+b^2+c^2\ge 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}[/tex]=>
[tex]4R^2\ge 3\sqrt[3]{V^2} =>V\le \frac{8R^3}{3\sqrt{3} }[/tex]
Равенство (т.е., най- голям обем се достига) при [tex]a=b=c=\frac{2R}{\sqrt{3} }[/tex]