Описана сфера около пирамида

[skadevil]

Основата на триъгълна пирамида е равнобедрен триъгълник с основа [tex]4 \sqrt{3}[/tex] и ъгъл при основата [tex]30 ^\circ[/tex].Всички околни ръбове са еднакво наклонени към основата на пирамидата.Около пирамидата е описана сфера с радиус 4.На колко градуса е равен ъгълът между околния ръб и основата? Може ли малко насоки. Аз намерих страната на равнобедрения триъгълник и неговата височина, но после?

[S.B.]

Основата на триъгълна пирамида е равнобедрен триъгълник с основа [tex]4 \sqrt{3}[/tex] и ъгъл при основата [tex]30 ^\circ[/tex].Всички околни ръбове са еднакво наклонени към основата на пирамидата.Около пирамидата е описана сфера с радиус 4.На колко градуса е равен ъгълът между околния ръб и основата? Може ли малко насоки. Аз намерих страната на равнобедрения триъгълник и неговата височина, но после?

Без заглавие - 2021-04-02T184251.370.png (288.14 KiB) Прегледано 946 пъти

Означавам с $r$ радиусът на сферата,с $R$ - радиуссът на описаната около основата окръжност
Центърът на описаната около пирамида сфера лежи на пресечницата на трите симетрални равнини на отсечките $AB,BC$ и $CA$.
Щом околните ръбове са еднакво наклонени към основата,то върхът на пирамидата се проектира върху центъра на описаната около основата окръжност.
От всичко това следва,че височината на пирамидата принадлежи на диаметъра на описаната сфера.
Щом ъгълът при основата на равнобедрения [tвисочината на пирамидта ex]\triangle ABC[/tex] е [tex]30^\circ[/tex] тогава ъгълът при върха $C$ е [tex]120 ^\circ[/tex]
Прилагам Синусова теорема и намирам [tex]\displaystyle\frac{AB}{sin120 ^\circ } = 2R \Leftrightarrow \displaystyle\frac{4 \sqrt{3} }{\displaystyle \frac{ \sqrt{3} }{2} } =2R \Rightarrow
R = 4[/tex]
Получи се,че радиуса на описанат окръжност е равен на радиуса на описаната сфера [tex]\Rightarrow[/tex]центъра на на описаната сфера съвпада с центъра на описаната около основата окръжност.
Всъщност от това,че центъра на сферата съвпада с петата на височината на пирамидата [tex]\Rightarrow OM = h = 4[/tex]

Скрит текст: покажи

Допълнително обяснение:[tex]\triangle MNB[/tex] е правоъгълен,защото $MN$ е диаметър. Ако $OM = h$ то $ON = 2r - h = 8 -h$,[tex]BO = R \bot MN[/tex]
От метричните свойства имаме:[tex]h.(8 - h) = R^{2} \Leftrightarrow h((8 - h) = 16 \Leftrightarrow h^{2} - 8h + 16 = 0 \Leftrightarrow ( h - 4)^{2} = 0 \Rightarrow h = r = 4[/tex]

Тогава от [tex]\triangle OBM \Rightarrow \angle MBO = 45 ^\circ[/tex]