Права призма

[Гост]

Два съседни основни ръба на права призма с основа успоредник сключват помежду си ъгъл $60^\circ$ и са с дължини $2$ $cm$ и $3$ $cm$. По-големият диагонал на призмата е $2\sqrt{11}$ $cm$. Намерете обема на призмата.

Може ли да ми обясните как да преценя кой от диагоналите е по-голям? Така, както е написано, аз разбирам, че те са два телесни диагонала, а напротив, те са повече - например $AC_1, BD_1, DB_1, CA_1$ (стандартни означения). Може би са два по два равни, но как да преценя за кой диагонал става въпрос в условието? Мисля, че по-нататък ще се справя и сам. Благодаря предварително!

[Nathi123]

Нека основата на призмата е успоредникът ABCD ,за който [tex]\angle BAD = 60 ^\circ \Rightarrow \angle ADC = 120 ^\circ[/tex] .Тогава диагоналът на призмата
AC[tex]_{1 }[/tex] има за ортогонална проекция диагонала АС на успоредника , а диагоналът BD[tex]_{1 }[/tex] на призмата има за ортогонална проекция върху основата диагонала BD на успоредника.АС> BD [tex]\Rightarrow AC _{1 }>BD _{1 }[/tex] (например от Т на Питагор за [tex]\triangle ACC _{1 }[/tex] и [tex]\triangle BDD _{1 }[/tex])
[tex]\Rightarrow AC _{1 }=2 \sqrt{11} \Rightarrow V=S _{ABCD }.CC _{1 } =2.3sin60 ^\circ.CC _{1 } =6. \frac{ \sqrt{3} }{2}.CC _{1 } =3 \sqrt{3}CC _{1 } =[/tex]
От [tex]\triangle ABC \Rightarrow AC ^{2}=9+4+2. \frac{1}{2}.2.3=19[/tex] ( косинусова т-ма;[tex]\angleАВС = 120 ^\circ[/tex]).
От [tex]\triangle ACC _{1 } \Rightarrow 4.11=CC _{1 } ^{2} +19 \Leftrightarrow CC _{1 } =5 \Rightarrow V=15 \sqrt{3}[/tex].

[Гост]

Нека основата на призмата е успоредникът ABCD ,за който [tex]\angle BAD = 60 ^\circ \Rightarrow \angle ADC = 120 ^\circ[/tex] .Тогава диагоналът на призмата
AC[tex]_{1 }[/tex] има за ортогонална проекция диагонала АС на успоредника , а диагоналът BD[tex]_{1 }[/tex] на призмата има за ортогонална проекция върху основата диагонала BD на успоредника.АС> BD [tex]\Rightarrow AC _{1 }>BD _{1 }[/tex] (например от Т на Питагор за [tex]\triangle ACC _{1 }[/tex] и [tex]\triangle BDD _{1 }[/tex])
[tex]\Rightarrow AC _{1 }=2 \sqrt{11} \Rightarrow V=S _{ABCD }.CC _{1 } =2.3sin60 ^\circ.CC _{1 } =6. \frac{ \sqrt{3} }{2}.CC _{1 } =3 \sqrt{3}CC _{1 } =[/tex]
От [tex]\triangle ABC \Rightarrow AC ^{2}=9+4+2. \frac{1}{2}.2.3=19[/tex] ( косинусова т-ма;[tex]\angleАВС = 120 ^\circ[/tex]).
От [tex]\triangle ACC _{1 } \Rightarrow 4.11=CC _{1 } ^{2} +19 \Leftrightarrow CC _{1 } =5 \Rightarrow V=15 \sqrt{3}[/tex].

Много благодаря! А как точно сравняваме $AC$ и $BD$? Другите два телесни диагонала равни ли са на тези ($AC_1$ и $BD_1$ имам предвид под "тези"), че правим сравнението само на излизащите от върховете на една страна на успоредника?

[Nathi123]

Основата е успоредник с ъгли 60[tex]^\circ[/tex] и 120[tex]^\circ[/tex].При означенията ,които използвах диагоналът BD e срещу ъгъл 60[tex]^\circ[/tex]. Дължината му се изразява от кос. т-ма за [tex]\triangle ABD[/tex],по същия начин дължината на АС се изразява от кос т-ма за [tex]\triangle АВС[/tex].Кой диагонал има по - голяма дължина?
Четириъгълникът BDD[tex]_{1 }B _{1 }[/tex] е правоъгълник[tex]\Rightarrow BD _{1 } =DB _{1 }[/tex],аналогично за ACC[tex]_{1 }A _{1 }[/tex].