Задачка

[naitsirk]

Ето ви една интересна стереометрия:
Основата на четириъгълна пирамида [tex]ABCDQ[/tex] е правоъгълник [tex]ABCD[/tex] със страни [tex]AB=2\sqrt{2}[/tex] и [tex]BC = 2[/tex]. Околните стени [tex]ADQ[/tex] и [tex]CDQ[/tex] са перпендикулярни на равнината на основата. Околният ръб [tex]BQ[/tex] има дължина 4.
Да се намери лицето на сечението на пирамидата с равнина [tex]\gamma[/tex] през средата [tex]M[/tex] на ръба [tex]CD[/tex], перпендикулярна на ръба [tex]BQ[/tex].

[martosss]

Ами спускаме перпендикуляр МН към ВQ и забелязваме, че той пада в средата на ВQ(от триъгълници ВНМ и МНQ с питагор, понеже МВ=МQ=[tex]\sqrt{6}[/tex], освен това МН е обща, то ВН=MQ).
Получихме, че търсената равнина минава през средата на BQ и по условие е перпендикулярна на BQ, откъдето тази равнина е симетрална на BQ.
Забелязваме, че тя пресича CQ и AB също в техните среди - Н1 и Н2, тъй като се образуват средни отсечки НН1 и НН2 в триъгълници ВСQ u ABQ. Оттук Н1 и Н2 са среди на CQ u AB, откъдето МН2 също е средна отсечка в основата. Така можем много лесно да изчислим всяка една от страните на МН2НН1, както и диагоналът му МН. Така лицето на сечението се получава от два правоъгълни равнобедрени триъгълника, които имат лица 1/2 и 1, откъдето цялото сечение е 3/2.