Куб

[Гост]

Даден е куб АВСДА1В1С1Д1 с ръб 1. Намерете разстоянието между правите АВ1 и ВС1.

[ammornil]

Ако построим другия диагонал в стената [tex]BCC_1B_1[/tex], [tex]BC_1 \cap CB_1=F[/tex]. Диагоналите на квадрата са взаимно перпендикулярни и се разполовяват от пресечната си точка.
[tex]F[/tex] е ортогнална проекция на [tex]B_1[/tex] вурху правата [tex]B_1F[/tex], следователно е търсеното разстояние.

[tex]B_1F=\frac{1}{2}CB_1=\frac{1}{2}\sqrt{B_1B^2+BC^2}=\frac{1}{2}\sqrt{1^2+1^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]

[tex][/tex]

[ammornil]

Ако построим другия диагонал в стената [tex]BCC_1B_1[/tex], [tex]BC_1 \cap CB_1=F[/tex]. Диагоналите на квадрата са взаимно перпендикулярни и се разполовяват от пресечната си точка.
[tex]F[/tex] е ортогнална проекция на [tex]B_1[/tex] вурху правата [tex]\cancel{B_1F}[/tex] [tex]BC_1[/tex], следователно е търсеното разстояние.

[tex]B_1F=\frac{1}{2}CB_1=\frac{1}{2}\sqrt{B_1B^2+BC^2}=\frac{1}{2}\sqrt{1^2+1^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]

[tex][/tex]

По горе съм допуснал грешка в именуването на правата, върху която [tex]F[/tex] е проекция на [tex]B_1[/tex]. Вярната права е [tex]BC_1[/tex].

[KOPMOPAH]

Колега ammornil, грешите. Отсечката $B_1F$ на Вашия чертеж не е разстоянието между $AB_1$ и $BC_1$.

Куб-14.06-2.png (15.51 KiB) Прегледано 360 пъти

Ако се прекарат сеченията с равнини, определени от точките $A$, $B_1$ и $D_1$, съответно $B$, $C_1$ и $D$ то не е трудно да се докаже, че $\red{JK}$ на горния чертеж е търсеното разстояние, като $JK=\frac 13 CA_1 =\frac {\sqrt 3}3$.

[ammornil]

Да, правилно. Кръстосани прави в успоредни равнини, и оттам разстоянието между равнините, ще е разстояние между правите...
Благодаря за корекцията.

[Гост]

cuu.PNG (56.96 KiB) Прегледано 320 пъти

cuu.PNG (56.96 KiB) Прегледано 320 пъти