Пирамида

[Гост]

Ортогоналната проекция на върха М на пирамидата МАВСD с основа квадрат е М1, като <M1AB=75, <M1DA=15 и М1 лежи във вътрешността на основата. Ако ъгълът между равнините MAD и ABCD е 60 и MC=3, намерете обема на пирамидата.

[S.B.]

Ортогоналната проекция на върха М на пирамидата МАВСD с основа квадрат е М1, като [tex]\angle[/tex]M1AB=75, [tex]\angle[/tex]M1DA=15 и М1 лежи във вътрешността на основата. Ако ъгълът между равнините MAD и ABCD е 60 и MC=3, намерете обема на пирамидата.

Без заглавие - 2021-06-19T171719.723.png (353 KiB) Прегледано 391 пъти

Много съжалявам,но не успях да измисля нещо по- елегантно!

[tex]\triangle AM_{1 }D[/tex] е равнобедрен, [tex]PM_{1 } \bot AD \Rightarrow AP = PD , PQ || AB \Rightarrow Q[/tex] е среда на $BC$
Нека страната на квадрата $ABCD$ е $a$
Ако [tex]PM_{1 } = x \Rightarrow M_{1 } Q = a - x[/tex]
В чертежа на основата:
От [tex]\triangle PD M_{1 } \rightarrow \frac{P M_{1 } }{PD} = \tg 15 ^\circ \Leftrightarrow x = \frac{a}{2}\tg 15 ^\circ[/tex]
[tex]\tg^{2} 15 ^\circ = \displaystyle\frac{ \sin^{2}15 ^\circ }{ \cos^{2}15 ^\circ } = \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1 - \cos 30 ^\circ }{2} }{\displaystyle \frac{1 + \cos 30 ^\circ }{2} } = \displaystyle \frac{1 - \displaystyle \frac{ \sqrt{3} }{2} }{1 + \displaystyle \frac{ \sqrt{3} }{2} } = \displaystyle \frac{2 - \sqrt{3} }{2 + \sqrt{3} } = (2 - \sqrt{3}) ^{2} \Rightarrow \tg 15 ^\circ =( 2 - \sqrt{3})[/tex]
$$x = \frac{a}{2}(2 - \sqrt{3} )$$
В чертежа на пирамидата:
От [tex]\triangle PM M_{1 } \rightarrow \frac{M M_{1 } }{P M_{1 } } = \tg 60 ^\circ \Leftrightarrow \frac{h}{x} = \sqrt{3} \Rightarrow h = x \sqrt{3}[/tex]
$$h = \frac{a \sqrt{3} }{2}(2 - \sqrt{3})$$
В чертежа на основата:
От [tex]\triangle M_{1 }QC \rightarrow CM_{1 } ^{2} = M_{1 }Q ^{2} + CQ^{2} \Leftrightarrow C M_{1 } ^{2} = (a - x)^{2} + ( \frac{a}{2}) ^{2}... \Leftrightarrow C M_{1 } ^{2} = \frac{5 a^{2} - 8ax + 4 x^{2} }{4}[/tex]
Замествам [tex]x = \frac{a}{2}(2 - \sqrt{3} )[/tex] ,преработвам и получавам
$$ C M_{1 } ^{2} = a^{2} $$

Вчертежа на пирамидата:
От [tex]\triangle C M_{1 }M \rightarrow C M_{1 } ^{2} + M M_{1 } ^{2} = CM^{2} \Leftrightarrow a^{2} + \frac{3 a^{2} }{4} (2 - \sqrt{3}) ^{2} = 9 \Rightarrow a^{2} = \frac{36}{25 - 12 \sqrt{3} } \Rightarrow[/tex]
[tex]a = \frac{6}{ \sqrt{25 - 12 \sqrt{3} } } , h = \frac{3 \sqrt{3}(2 - \sqrt{3}) }{ \sqrt{25 - 12 \sqrt{3} } }[/tex]
[tex]V_{MABCD } = \frac{ a^{2} .h}{3} \Leftrightarrow V_{MABCD } = \frac{1}{3} .\frac{36}{25 - 12 \sqrt{3} }. \frac{3 \sqrt{3}(2 - \sqrt{3}) }{ \sqrt{25 - 12 \sqrt{3} } } = \frac{36 \sqrt{3}(2 - \sqrt{3}) }{(25 - 12 \sqrt{3}) \sqrt{25 - 12 \sqrt{3} } }[/tex]

Скрит текст: покажи

И на финала ще си позволя да цитирам нашия уважаван колега KOPMOPAH : "след толкова старания и страдания"... получих този ужасен отговор!

[Гост]

rano.PNG (24.26 KiB) Прегледано 282 пъти

значи интересното тука е, че [tex]M_1CB[/tex] е равностранен; важи и обратното: ако [tex]М_1[/tex] е вътрешна и [tex]M_1CB[/tex] е равностранен, то [tex]\angle M_1DA=15[/tex]