Правилна триъгълна призма

[Гост]

Върху околните ръбове АА1, ВВ1, СС1 на правилна триъгълна призма с основен ръб а са избрани съответно точките А2, В2, С2, като разстоянията от тях до равнината АВС са съответно (1/2)а, а, (3/2)а. Намерете ъгъла между равнините АВС и А2В2С2.

[S.B.]

Върху околните ръбове АА1, ВВ1, СС1 на правилна триъгълна призма с основен ръб а са избрани съответно точките А2, В2, С2, като разстоянията от тях до равнината АВС са съответно (1/2)а, а, (3/2)а. Намерете ъгъла между равнините АВС и А2В2С2.

Без заглавие - 2021-07-21T223929.310.png (363.22 KiB) Прегледано 645 пъти

Ако [tex]\varphi[/tex] е ъгълът между сеченито [tex]A_{2 } B_{2 } C_{2 }[/tex] и основата $ABC$ тогава [tex]\cos \varphi = \frac{ S_{ABC } }{ S_{ A_{2 } B_{2 } C_{2 } } }[/tex]
[tex]S_{ABC } = \frac{ a^{2} \sqrt{3} }{4}[/tex]
Ще определя [tex]S_{ A_{2 } B_{2 } C_{2 } }[/tex]:

Върху стената [tex]ABB_{1 } A_{1 }[/tex]:
От [tex]\triangle A_{2 }M B_{2 } \rightarrow A_{2 } B_{2 } = \sqrt{ a^{2} + \frac{ a^{2} }{4} } = \frac{a \sqrt{5} }{2}[/tex]

Върху стената [tex]BC C_{1 } B_{1 }[/tex]:
От [tex]\triangle B_{2 }N C_{2 } \rightarrow B_{2 } C_{2 } = \sqrt{ a^{2} + \frac{ a^{2} }{4} } = \frac{a \sqrt{5} }{2}[/tex]

Върху стената [tex]CA A_{1 } C_{1 }[/tex]:
От [tex]\triangle P A_{2 } C_{2 } \rightarrow A_{2 } C_{2 } = \sqrt{2 a^{2} } = a \sqrt{2}[/tex]

В [tex]\triangle A_{2 } B_{2 } C_{2 }[/tex] построявам [tex]B_{2 }H \bot A_{2 } C_{2 }[/tex]
От [tex]\triangle H C_{2 } B_{2 } \rightarrow H B_{2 } = \frac{a \sqrt{3} }{2}[/tex] ( по Питагорова теорема)
[tex]\Rightarrow S_{ A_{2 } B_{2 } C_{2 } } = \frac{1}{2}. \frac{a \sqrt{3} }{2}.a \sqrt{2} = \frac{ a^{2} \sqrt{6} }{4}[/tex]

[tex]\cos \varphi = \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{ a^{2} \sqrt{3} }{4} }{\displaystyle \frac{ a^{2} \sqrt{6} }{4} } = \displaystyle \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{6} } = \displaystyle \frac{1}{ \sqrt{2} } = \displaystyle \frac{ \sqrt{2} }{2}[/tex]

[tex]\cos \varphi = \frac{ \sqrt{2} }{2} \Rightarrow \angle \varphi = \frac{ \pi }{4} = 45 ^\circ[/tex]

[KOPMOPAH]

Моята логика е подобна - трябва да се намери лицето на сечението и оттам - косинуса на ъгъла между равнините.

Страните на $\triangle A_2B_2C_2$ намирам по Питагорова теорема, а лицето му - по Херонова формула. Нататък е ясно.

[Гост]

Тия задачи е най-добре да се решават с нормални вектори. Не всеки път ша са "удобно предвидени" като тоя случай с формулата за ортогонална проекция. Ако например се търси разстоянието от С до равнината, ко праим?

[KOPMOPAH]

Тия задачи е най-добре да се решават с нормални вектори. Не всеки път ша са "удобно предвидени" като тоя случай с формулата за ортогонална проекция. Ако например се търси разстоянието от С до равнината, ко праим?

Доколкото задачата е в подфорум "Стереометрия" се предполага, че тя може и трябва да бъде бъде решена с инструментариума за съответния клас от средното училище. Ако нормалните вектори попадат сред него, то забележката е правилна. По мое време те не се изучаваха в средния курс, а отчитайки цялостната деградация на образованието едва ли са включени и в съвременната програма.

[Гост]

не, просто казвам по принцип...а иначе никъде не е казано, че е за някой клас...

[Гост]

pi4.PNG (79.49 KiB) Прегледано 591 пъти

[Гост]

ето друго "стандартно" решение

[S.B.]

ето друго "стандартно" решение

И защо ползваш моя чертеж? Защо не си направи твой чертеж?! Всъщност умееш само да критикуваш ,но не и да правиш чертежи!

[S.B.]

Тия задачи е най-добре да се решават с нормални вектори. Не всеки път ша са "удобно предвидени" като тоя случай с формулата за ортогонална проекция. Ако например се търси разстоянието от С до равнината, ко праим?

Другият път,когато решите да публикувате една задача,която искате да се реши с определен от вас инструментариум,бъдете така добър да заявите това към условието.
След като условието е публикувано в раздел "Стереометрия" се приема,че решаването със стереометрични методи не е грешка,а нормално решение.
На въпроса Ви "Ако например се търси разстоянието от $C$ до равнината КО ПРАИМ? " Ви отговарям веднага :търсим височината в пирамидата [tex]CA_{2 } B_{2 } C_{2 }[/tex]

[Гост]

тамън когато си помислиш, че във форума са се възцарили мир и спокойствие, от някъде се появява S.B. с нова порция драми, паника, истерии и малоумия

[Гост]

ето друго "стандартно" решение

И защо ползваш моя чертеж? Защо не си направи твой чертеж?! Всъщност умееш само да критикуваш ,но не и да правиш чертежи!

ти въобще усещаш ли са кво говориш? 2 пъти си редактирала съобщението и пак е неадекватно...

[S.B.]

ти въобще усещаш ли са кво говориш? 2 пъти си редактирала съобщението и пак е неадекватно...

Усещам са кво говоря и пиша!
А ти усещаш ли се,че даже не умееш нито да говориш,нито да пишеш правилно?

[Гост]

За да станe тая задача по-пълноценна, предлагам следното разширение:
Върху околните ръбове АА1, ВВ1, СС1 на правилна триъгълна призма с основен ръб а са избрани съответно точките А2, В2, С2, като разстоянията от тях до равнината АВС са съответно (1/2)а, а, (3/2)а.
a) Намерете ъгъла между равнините АВС и А2В2С2;
б) Hамерете разстоянието от А до (А2В2С2);
в) Aко M и N са медицентровете на ABC и А2В2С2, докажете, че: i) [tex]AA_2+BB_2+CC_2=3MN[/tex]; ii) обемът на многостена [tex]ABCA_2B_2C_2[/tex] е [tex]S _{ABC }\cdot MN[/tex]

[Гост]

подобрена версия:

Върху околните ръбове АА1, ВВ1, СС1 на правилна триъгълна призма с основен ръб а са избрани съответно точките А2, В2, С2, като разстоянията от тях до равнината АВС са съответно (1/2)а, а, (3/2)а.
a) Намерете ъгъла между равнините АВС и А2В2С2;
б) Hамерете разстоянието от А до (А2В2С2);
в) Aко M и N са медицентровете на ABC и А2В2С2, докажете, че: i) [tex]AA_2+BB_2+CC_2=3MN[/tex]; ii) обемът на многостена [tex]ABCA_2B_2C_2[/tex] е [tex]S _{ABC }\cdot MN[/tex]
г) Може ли в [tex]ABCA_2B_2C_2[/tex] да се впише сфера? Може ли около [tex]ABCA_2B_2C_2[/tex] да се опише сфера?