Прав паралелепипед

[Гост]

Основата на прав паралелепипед е ромб със страна b и остър ъгъл [tex]\alpha[/tex]. По-големият диагонал на паралелепипед сключва с равнината на основата остър ъгъл [tex]\beta[/tex]. Намерете обема на паралелепипеда.
Отговор:
V=2b²sin[tex]\alpha[/tex]cos[tex]\alpha[/tex]/2tg[tex]\beta[/tex]

[S.B.]

Основата на прав паралелепипед е ромб със страна b и остър ъгъл [tex]\alpha[/tex]. По-големият диагонал на паралелепипед сключва с равнината на основата остър ъгъл [tex]\beta[/tex]. Намерете обема на паралелепипеда.
Отговор:
V=2b²sin[tex]\alpha[/tex]cos[tex]\alpha[/tex]/2tg[tex]\beta[/tex]

Без заглавие - 2021-08-09T150922.490.png (218 KiB) Прегледано 425 пъти

[tex]V = S_{ABCD }.C C_{1 }[/tex]

[tex]S_{ABCD } = AB.AD.\sin \alpha \Leftrightarrow S_{ABCD } = b.b.\sin \alpha \Rightarrow[/tex]
$$S_{ABCD } = b^{2}\sin \alpha $$

От [tex]\triangle AC C_{1 } \rightarrow \frac{C C_{1 } }{AC} = \tg \beta \Rightarrow C C_{1 }= AC\tg \beta[/tex]
За [tex]\triangle ABC[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} - 2.AB.BC.\cos \angle ABC \Leftrightarrow AC^{2} = b^{2} + b^{2} - 2.b.b.\cos(180 ^\circ - \alpha)[/tex]

[tex]\Leftrightarrow AC^{2} = 2 b^{2} + 2 b^{2}.\cos \alpha = 2 b^{2}(1 + \cos \alpha ) \Rightarrow AC^{2} = 4 b^{2} \cos^{2} \frac{ \alpha }{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow AC = 2b\cos \frac{ \alpha }{2}[/tex]

От[tex]\begin{cases} AC = 2b\cos\displaystyle \frac{ \alpha }{2} \\ C C_{1 } = AC.\tg \beta \end{cases} \Rightarrow[/tex]
$$C C_{1 } = 2b\cos\displaystyle\frac{ \alpha }{2}\tg \beta$$

[tex]V = S_{ABCD }.C C_{1 } \Leftrightarrow V = b^{2}\sin \alpha .2b\cos \frac{ \alpha }{2} \tg \beta \Rightarrow[/tex]
$$V = 2b^{3} \sin \alpha \cos\frac{ \alpha }{2}\tg \beta $$

[Гост]

Основата на прав паралелепипед е ромб със страна b и остър ъгъл [tex]\alpha[/tex]. По-големият диагонал на паралелепипед сключва с равнината на основата остър ъгъл [tex]\beta[/tex]. Намерете обема на паралелепипеда.
Отговор:
V=2b²sin[tex]\alpha[/tex]cos[tex]\alpha[/tex]/2tg[tex]\beta[/tex]

Без заглавие - 2021-08-09T150922.490.png

[tex]V = S_{ABCD }.C C_{1 }[/tex]

[tex]S_{ABCD } = AB.AD.\sin \alpha \Leftrightarrow S_{ABCD } = b.b.\sin \alpha \Rightarrow[/tex]
$$S_{ABCD } = b^{2}\sin \alpha $$

От [tex]\triangle AC C_{1 } \rightarrow \frac{C C_{1 } }{AC} = \tg \beta \Rightarrow C C_{1 }= AC\tg \beta[/tex]
За [tex]\triangle ABC[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} - 2.AB.BC.\cos \angle ABC \Leftrightarrow AC^{2} = b^{2} + b^{2} - 2.b.b.\cos(180 ^\circ - \alpha)[/tex]

[tex]\Leftrightarrow AC^{2} = 2 b^{2} + 2 b^{2}.\cos \alpha = 2 b^{2}(1 + \cos \alpha ) \Rightarrow AC^{2} = 4 b^{2} \cos^{2} \frac{ \alpha }{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow AC = 2b\cos \frac{ \alpha }{2}[/tex]

От[tex]\begin{cases} AC = 2b\cos\displaystyle \frac{ \alpha }{2} \\ C C_{1 } = AC.\tg \beta \end{cases} \Rightarrow[/tex]
$$C C_{1 } = 2b\cos\displaystyle\frac{ \alpha }{2}\tg \beta$$

[tex]V = S_{ABCD }.C C_{1 } \Leftrightarrow V = b^{2}\sin \alpha .2b\cos \frac{ \alpha }{2} \tg \beta \Rightarrow[/tex]
$$V = 2b^{3} \sin \alpha \cos\frac{ \alpha }{2}\tg \beta $$

Благодаря! Но не разбрах как се получи cos a/2

[S.B.]

Благодаря! Но не разбрах как се получи cos a/2

......[tex]AC^{2} = b^{2} + b^{2} + 2.b.b.\cos \alpha = 2 b^{2} + 2 b^{2}\cos \alpha = 2 b^{2}(1 + \cos \alpha )[/tex]
Тук използвам формулата $$\cos^{2} \frac{ \alpha }{2} = \frac{1 + \cos \alpha }{2} \Leftrightarrow (1 + \cos \alpha) = 2 \cos^{2} \frac{ \alpha }{2} $$
И получавам:

$$ AC^{2}= 2 b^{2}(1 + \cos \alpha) = 4 b^{2} \cos^{2} \frac{ \alpha }{2} \Rightarrow AC = 2b\cos \frac{ \alpha }{2} $$

[Гост]

Благодаря! Но не разбрах как се получи cos a/2

......[tex]AC^{2} = b^{2} + b^{2} + 2.b.b.\cos \alpha = 2 b^{2} + 2 b^{2}\cos \alpha = 2 b^{2}(1 + \cos \alpha )[/tex]
Тук използвам формулата $$\cos^{2} \frac{ \alpha }{2} = \frac{1 + \cos \alpha }{2} \Leftrightarrow (1 + \cos \alpha) = 2 \cos^{2} \frac{ \alpha }{2} $$
И получавам:

$$ AC^{2}= 2 b^{2}(1 + \cos \alpha) = 4 b^{2} \cos^{2} \frac{ \alpha }{2} \Rightarrow AC = 2b\cos \frac{ \alpha }{2} $$

Благодаря отново ! В 10 клас не се учат тези формули, интересно защо са дали задачата в учебника...