Триъгълна пирамида

[Гост]

Може ли помощ?

[nikola.topalov]

Screenshot_20210814-015501_Drive.jpg (67.08 KiB) Прегледано 443 пъти

Ъгълът между [tex]MA[/tex] и равнината [tex](ABC)[/tex] е [tex]\sphericalangle CAM[/tex] (защото [tex]CA[/tex] е проекцията на [tex]MA[/tex] върху тази равнина), който по условие е [tex]60^\circ[/tex]. От [tex]MA=MB[/tex] следва и еднаквостта на правоъгълните [tex]\triangle CAM[/tex] и [tex]\triangle CBM[/tex], т.е. [tex]CM=5[/tex]. Намираме [tex]MC=5\sqrt{3}[/tex], а оттук и лицето на [tex]\triangle ABC[/tex], което намираме по формулата [tex]S_{ABC}=\dfrac{3V}{MC}=\dfrac{25\sqrt{3}}{4}[/tex] (защото в случая [tex]MC[/tex] се явява височина на пирамидата). Нека означим [tex]\sphericalangle BCA=\phi[/tex]. Тогава [tex]\dfrac{25}{2}\sin\phi=\dfrac{25\sqrt{3}}{4}[/tex], откъдето за синуса на ъгъла получаваме [tex]\sin\phi=\dfrac{\sqrt{3}}{2}[/tex]. Възможни отговори за [tex]\phi[/tex] са [tex]60^\circ[/tex] и [tex]120^\circ[/tex], но в условието е казано, че ъгълът е тъп, следователно [tex]\phi=120^\circ[/tex]. Нека [tex]CN\perp BA[/tex] ([tex]N\in BA[/tex]). Понеже [tex]MC[/tex] е перпендикулярна на всяка права от равнината [tex](ABC)[/tex], то очевидно [tex]CN[/tex] е проекцията на [tex]MN[/tex]. Тогава [tex]MN\perp BA[/tex] според теоремата за трите перпендикуляра. Лесно намираме [tex]CN=\dfrac{5}{2}[/tex] и [tex]MN=\dfrac{5\sqrt{13}}{2}[/tex]. За околната повърхнина [tex]S[/tex] на пирамидата имаме [tex]S=25\sqrt{3}+\dfrac{25\sqrt{39}}{4}[/tex], а за тангенса на двустенния ъгъл [tex]\sphericalangle CNM[/tex] между равнините [tex](ABC)[/tex] и [tex](ABM)[/tex] имаме [tex]\tg\sphericalangle CNM=2\sqrt{3}[/tex].

[Гост]

Screenshot_20210814-015501_Drive.jpg

Ъгълът между [tex]MA[/tex] и равнината [tex](ABC)[/tex] е [tex]\sphericalangle CAM[/tex] (защото [tex]CA[/tex] е проекцията на [tex]MA[/tex] върху тази равнина), който по условие е [tex]60^\circ[/tex]. От [tex]MA=MB[/tex] следва и еднаквостта на правоъгълните [tex]\triangle CAM[/tex] и [tex]\triangle CBM[/tex], т.е. [tex]CM=5[/tex]. Намираме [tex]MC=5\sqrt{3}[/tex], а оттук и лицето на [tex]\triangle ABC[/tex], което намираме по формулата [tex]S_{ABC}=\dfrac{3V}{MC}=\dfrac{25\sqrt{3}}{4}[/tex] (защото в случая [tex]MC[/tex] се явява височина на пирамидата). Нека означим [tex]\sphericalangle BCA=\phi[/tex]. Тогава [tex]\dfrac{25}{2}\sin\phi=\dfrac{25\sqrt{3}}{4}[/tex], откъдето за синуса на ъгъла получаваме [tex]\sin\phi=\dfrac{\sqrt{3}}{2}[/tex]. Възможни отговори за [tex]\phi[/tex] са [tex]60^\circ[/tex] и [tex]120^\circ[/tex], но в условието е казано, че ъгълът е тъп, следователно [tex]\phi=120^\circ[/tex]. Нека [tex]CN\perp BA[/tex] ([tex]N\in BA[/tex]). Понеже [tex]MC[/tex] е перпендикулярна на всяка права от равнината [tex](ABC)[/tex], то очевидно [tex]CN[/tex] е проекцията на [tex]MN[/tex]. Тогава [tex]MN\perp BA[/tex] според теоремата за трите перпендикуляра. Лесно намираме [tex]CN=\dfrac{5}{2}[/tex] и [tex]MN=\dfrac{5\sqrt{13}}{2}[/tex]. За околната повърхнина [tex]S[/tex] на пирамидата имаме [tex]S=25\sqrt{3}+\dfrac{25\sqrt{39}}{4}[/tex], а за тангенса на двустенния ъгъл [tex]\sphericalangle CNM[/tex] между равнините [tex](ABC)[/tex] и [tex](ABM)[/tex] имаме [tex]\tg\sphericalangle CNM=2\sqrt{3}[/tex].

Извинявай че питам, но с коя програма начерта фигурата.

[nikola.topalov]

Screenshot_20210814-015501_Drive.jpg

Ъгълът между [tex]MA[/tex] и равнината [tex](ABC)[/tex] е [tex]\sphericalangle CAM[/tex] (защото [tex]CA[/tex] е проекцията на [tex]MA[/tex] върху тази равнина), който по условие е [tex]60^\circ[/tex]. От [tex]MA=MB[/tex] следва и еднаквостта на правоъгълните [tex]\triangle CAM[/tex] и [tex]\triangle CBM[/tex], т.е. [tex]CM=5[/tex]. Намираме [tex]MC=5\sqrt{3}[/tex], а оттук и лицето на [tex]\triangle ABC[/tex], което намираме по формулата [tex]S_{ABC}=\dfrac{3V}{MC}=\dfrac{25\sqrt{3}}{4}[/tex] (защото в случая [tex]MC[/tex] се явява височина на пирамидата). Нека означим [tex]\sphericalangle BCA=\phi[/tex]. Тогава [tex]\dfrac{25}{2}\sin\phi=\dfrac{25\sqrt{3}}{4}[/tex], откъдето за синуса на ъгъла получаваме [tex]\sin\phi=\dfrac{\sqrt{3}}{2}[/tex]. Възможни отговори за [tex]\phi[/tex] са [tex]60^\circ[/tex] и [tex]120^\circ[/tex], но в условието е казано, че ъгълът е тъп, следователно [tex]\phi=120^\circ[/tex]. Нека [tex]CN\perp BA[/tex] ([tex]N\in BA[/tex]). Понеже [tex]MC[/tex] е перпендикулярна на всяка права от равнината [tex](ABC)[/tex], то очевидно [tex]CN[/tex] е проекцията на [tex]MN[/tex]. Тогава [tex]MN\perp BA[/tex] според теоремата за трите перпендикуляра. Лесно намираме [tex]CN=\dfrac{5}{2}[/tex] и [tex]MN=\dfrac{5\sqrt{13}}{2}[/tex]. За околната повърхнина [tex]S[/tex] на пирамидата имаме [tex]S=25\sqrt{3}+\dfrac{25\sqrt{39}}{4}[/tex], а за тангенса на двустенния ъгъл [tex]\sphericalangle CNM[/tex] между равнините [tex](ABC)[/tex] и [tex](ABM)[/tex] имаме [tex]\tg\sphericalangle CNM=2\sqrt{3}[/tex].

Извинявай че питам, но с коя програма начерта фигурата.

Потърси overleaf в интернет. Фигурата я начертах с помощта на пакета tikz.

[Гост]

ОК. Благодаря че ми каза.

[Natnat]

Може ли помощ за задачата!