Паралелепипед - отношение на отсечки

[Гост]

4зад.Върху диагоналите AB1,BC1 съответно на стените (ABB1A1) и (BCC1B1) на паралелепипеда ABCDA1B1C1D1 са избрани такива точки M и N,че отсечките MN и A1C са успоредни.Да се намери отношението от дължините на тези отсечки.

[nikola.topalov]

Много готина задача, която може да се реши с помощта на вектори. Въвеждаме пространствената база [tex]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}[/tex], [tex]\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}[/tex] и [tex]\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{c}[/tex]. Нека точките [tex]M[/tex] и [tex]N[/tex] са съответно от [tex]AB_1[/tex] и [tex]BC_1[/tex]. Понеже [tex]\overrightarrow{MB_1}\uparrow\uparrow\overrightarrow{AB_1}[/tex], то [tex]\exists! \ \lambda>0[/tex], такова че [tex]\overrightarrow{MB_1}=\lambda\overrightarrow{AB_1}=\lambda\overrightarrow{a}+\lambda\overrightarrow{c}[/tex]. Аналогично имаме [tex]\overrightarrow{C_1N}=\mu\overrightarrow{BC_1}[/tex] за фиксирано число [tex]\mu<0[/tex]. ([tex]\mu<0[/tex], защото [tex]\overrightarrow{C_1N}\uparrow\downarrow\overrightarrow{BC_1}[/tex]). И така векторът [tex]\overrightarrow{MN}[/tex], изразен като линейна комбинация на базисните вектори, е [tex]\overrightarrow{MN}=\lambda\overrightarrow{a}+(1+\mu)\overrightarrow{b}+(\lambda+\mu)\overrightarrow{c}[/tex]. От условието имаме, че векторите [tex]\overrightarrow{MN}[/tex] и [tex]\overrightarrow{A_1C}[/tex] са колинеарни, следователно [tex]\exists! \ \eta[/tex], такова че [tex]\overrightarrow{MN}=\eta\overrightarrow{A_1C}[/tex], като [tex]\eta>0[/tex], понеже векторите са еднопосочни. Имаме [tex]\lambda\overrightarrow{a}+(1+\mu)\overrightarrow{b}+(\lambda+\mu)\overrightarrow{c}=\eta\overrightarrow{a}+\eta\overrightarrow{b}-\eta\overrightarrow{c}[/tex]. Последното равенство ще бъде възможно тогава, когато е изпълнена системата
[tex]\begin{array}{|l} \lambda = \eta \\ 1+\mu = \eta \\ \lambda+\mu=-\eta \end{array}[/tex]
(поради линейната независимост на векторите). Решения на горната система са [tex]\left(\lambda,\mu,\eta\right)=\left(\dfrac{1}{3},-\dfrac{2}{3},\dfrac{1}{3}\right)[/tex] и наистина [tex]\lambda,\eta>0[/tex] и [tex]\mu<0[/tex]. След заместване получаваме [tex]\overrightarrow{MN}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{a}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{b}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{c}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{A_1C}[/tex], откъдето и [tex]|\overrightarrow{MN}|=\dfrac{1}{3}|\overrightarrow{A_1C}|[/tex].