Описана сфера

[nikola.topalov]

Около четириъгълната пирамида [tex]ABCDM[/tex] с основа [tex]ABCD[/tex] може да се опише сфера. Известно е, че [tex]AB=BC=5[/tex], [tex]DC=3[/tex] и [tex]AD=DM=8[/tex]. Околната стена [tex]ABM[/tex] е перпендикулярна на основата и [tex]AM=4[/tex]. Да се намери радиусът на описаната около пирамидата сфера.

[nikola.topalov]

Моето решение:

Скрит текст: покажи

Screenshot_20210913-140131_Drive.jpg (92.93 KiB) Прегледано 451 пъти

От условието следва, че четириъгълникът [tex]ABCD[/tex] е вписан. Пресмятаме [tex]\sphericalangle BAD =60^\circ[/tex] и [tex]BD=7[/tex], откъдето за радиуса на описаната около [tex]ABCD[/tex] окръжност получаваме [tex]\dfrac{7\sqrt{3}}{3}[/tex]. С косинусова теорема за [tex]\triangle DAM[/tex] намираме [tex]\cos\sphericalangle DAM=\dfrac{1}{4}[/tex]. Понеже ортогоналната проекция на върха [tex]M[/tex] върху равнината на основата на пирамидата лежи на [tex]AB[/tex], то [tex]\cos\sphericalangle BAM\cos60^\circ=\dfrac{1}{4}[/tex] (от теоремата за трите косинуса), т.е. [tex]\sphericalangle BAM=60^\circ[/tex]. Оттук лесно пресмятаме [tex]BM=\sqrt{21}[/tex]. Нека [tex]Q[/tex] е центърът на описаната около [tex]\triangle ABM[/tex] окръжност и [tex]N[/tex] е средата на [tex]AB[/tex] Намираме последователно [tex]BQ=\sqrt{7}[/tex] и [tex]QN=\dfrac{\sqrt{3}}{2}[/tex]. През [tex]Q[/tex] прекарваме права, перпендикулярна на равнината [tex](ABM)[/tex], която пресича правата, перпендикулярна на основата и минаваща през центъра [tex]O[/tex] на описаната около нея окръжност, в [tex]Z[/tex]. Тогава [tex]Z[/tex] се явява центърът на описаната около пирамидата сфера. Очевидно, [tex]NOQZ[/tex] е правоъгълник и значи [tex]OZ=NQ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}[/tex], откъдето намираме [tex]ZB=\dfrac{\sqrt{615}}{6}[/tex] от правоъгълния [tex]\triangle BOZ[/tex]. С това задачата е решена.

[S.B.]

Около четириъгълната пирамида [tex]ABCDM[/tex] с основа [tex]ABCD[/tex] може да се опише сфера. Известно е, че [tex]AB=BC=5[/tex], [tex]DC=3[/tex] и [tex]AD=DM=8[/tex]. Околната стена [tex]ABM[/tex] е перпендикулярна на основата и [tex]AM=4[/tex].
Да се намери радиусът на описаната около пирамидата сфера.

Още един поглед върху задачата,без да се използва теоремата за трите косинуса,която не се изучава в обикновените училища

Без заглавие - 2021-09-17T164942.229.png (365.81 KiB) Прегледано 396 пъти

Щом около пирамида може да се опише сфера,то около основата ѝ може да се опише окръжност.Центърът на сферата принадлежи на симетралните за ръбовете ѝ равнини.В случая центъра принадлежи на симетралната за $AB$ равнина.
Нека около основата $ABCD$ е описана окръжност [tex]k_{1 }( O_{1 } , r_{1 } )[/tex], а около стената $ABM$ е описана окръжност [tex]k_{2 }( O_{2 }, r_{2 })[/tex]
Построявам прави [tex]p \begin{cases} z O_{1 } \\ p \bot ABCD\end{cases}[/tex] и [tex]q \begin{cases} z O_{2 } \\ q \bot AMB\end{cases}[/tex]
[tex]p \cap q = O[/tex],където т.$O$ е център на описаната сфера.
От [tex]\triangle AO O_{1 } \rightarrow OA^{2 } = O_{1 }A ^{2 } + O O_{1 } ^{2 } \Leftrightarrow R^{2 } = r_{1 } ^{2 } + d_{2 } ^{2 }[/tex], където [tex]d_{2 }[/tex] е разстоянието от [tex]О_{2 }[/tex] до $AB$

Ще определим елементите с които ще изчислим радиуса на сферата:

Без заглавие - 2021-09-17T122844.628.png (535.02 KiB) Прегледано 396 пъти

Около основата $ABCD$ е описана окръжност [tex]k_{1 }( O_{1 }, r_{1 } )[/tex]
За [tex]\triangle ABD[/tex] и [tex]\triangle BCD[/tex] прилагам Косинусова теорема и намирам:
[tex]\cos \angle DAB = \frac{1}{2} \Rightarrow \angle DAB = 60 ^\circ ,DB = 7[/tex]
Прилагам Синусова теорема и получавам [tex]r_{1 } = \frac{7 \sqrt{3} }{3}[/tex]
За [tex]\triangle O_{1 }SB[/tex] прилагам Питагорова теорема и получавам [tex]d_{1 } = O_{1 } S = \frac{11 \sqrt{3} }{6}[/tex]
Построявам $MN$ - проекцията на $DM$ върху стената $ABM$
[tex]DN \bot AB \Rightarrow \triangle DAN[/tex] е правоъгълен.[tex]\angle NAD = 60 ^\circ \Rightarrow \angle NDA = 30 ^\circ \Rightarrow NA = \frac{DA}{2} = 4[/tex]
[tex]\triangle DNM \cong \triangle DAN[/tex] по катет и хипотенуза [tex]\Rightarrow NM = AN = 4 \Rightarrow NAM[/tex] е равностранен [tex]\Rightarrow \angle NAM = 60 ^\circ[/tex]
За [tex]\triangle ABM[/tex] прилагам Косинусова теорема и получавам [tex]BN = \sqrt{21}[/tex],
прилагам Синусова теорема и получавам [tex]r_{2 } = \sqrt{7}[/tex]
За [tex]\triangle BS O_{2 }[/tex] прилагам Питагорова теорема и получавам [tex]d_{2 } = O_{2 }S = \frac{ \sqrt{3} }{2}[/tex]
Връщам се към израза от първия чертеж за определяне на $R$
[tex]R^{2 } = d_{2 } ^{2 } + r_{1 } ^{2 } \Leftrightarrow R^{2 } = ( \frac{ \sqrt{3} }{2}) ^{2 } + ( \frac{7 \sqrt{3} }{3}) ^{2 } \Rightarrow[/tex]
$$R = \frac{ \sqrt{615} }{6} $$