Най-малка сфера

[nikola.topalov]

Да се намери радиусът на най-малката сфера, в която може да се впише правилна четириътълна пирамида, която е описана около сфера с радиус [tex]1[/tex].

Отг.:

Скрит текст: покажи

[tex]1+\sqrt{2}[/tex]

[S.B.]

Да се намери радиусът на най-малката сфера, в която може да се впише правилна четириътълна пирамида, която е описана около сфера с радиус [tex]1[/tex].

Отг.:

Скрит текст: покажи

[tex]1+\sqrt{2}[/tex]

Без заглавие - 2021-09-19T091640.685.png (403.42 KiB) Прегледано 324 пъти

Означения:
основен ръб - $a$ ,височина - $h$, апотема - $k$ , радиус на вписаната окръжност - $r$ ,радиус на описаната окръжност -$R$
$$r = \frac{3V}{ S_{пълна } } $$
[tex]V = \frac{B.h}{3} = \frac{ a^{2 }.h }{3} \Rightarrow 3V = a^{2 }h[/tex]
[tex]S_{пълна } = B + \frac{P.k}{2} = a^{2 } + \frac{4a.k}{2} = a^{2 } + 2ak \Rightarrow S_{пълна } = a(a + 2k)[/tex]
[tex]\frac{3V}{ S_{пълна } } = 1 \Leftrightarrow \frac{ а^{2 }.h }{a(a + 2k)} = 1 \Leftrightarrow ah = a + 2k \Rightarrow k = \frac{a(h - 1)}{2}[/tex]
От [tex]\triangle MHK \rightarrow k^{2 } = h^{2 } + \frac{ a^{2 } }{4} \Rightarrow k = \frac{1}{2} \sqrt{ a^{2 } + 4 h^{2 } }[/tex]

От[tex]\begin{cases} k = \displaystyle \frac{a(h - 1)}{2} \\k = \displaystyle \frac{1}{2} \sqrt{ a^{2 } + 4 h^{2 } } \end{cases} \rightarrow \displaystyle \frac{a(h - 1)}{2} = \displaystyle \frac{ \sqrt{ a^{2 } + 4 h^{2 } } }{2}[/tex]
[tex]a(h - 1) = \sqrt{a^{2 } + 4 h^{2 } } \Leftrightarrow a^{2 } (h - 1)^{2 } = a^{2 } + 4 h^{2 } \Leftrightarrow a^{2 } (h - 1)^{2 } - a^{2 } = 4 h^{2 }[/tex]
[tex]\Leftrightarrow a^{2 }[ (h - 1)^{2 } - 1] = 4 h^{2 } \Leftrightarrow a^{2 }(h - 2) = 4h \Rightarrow[/tex]
$$a^{2 } = \frac{4h}{h - 2} $$
При описаната сфера имаме половината от сечението на пирамидата по диагонала $BD$
[tex]MM_{1 }[/tex] е диаметър [tex]\Rightarrow \triangle MB M_{1 }[/tex] е правоъгълен и [tex]BH \bot M M_{1 } ,BH = \frac{a \sqrt{2} }{2} ; MH = h , M_{1 }H = 2R - h[/tex]
От метричните свойства в правоъгълния триъгълник следва:
[tex]BH^{2 } = MH. M_{1 }H \Leftrightarrow ( \frac{a \sqrt{2} }{2}) ^{2 } = h(2R-h) \Leftrightarrow 2Rh - h^{2 } -\frac{ a^{2 } }{2} = 0[/tex]

От [tex]\begin{cases} a^{2 } = \displaystyle \frac{4h}{h - 2} \\ 2Rh - h^{2 } - \displaystyle\frac{ a^{2 } }{2} = 0\end{cases} 2Rh - h^{2 } - \displaystyle \frac{2h}{h - 2} = 0 \Rightarrow R = \displaystyle \frac{ h^{2 }-2h + 2 }{2(h - 2)}[/tex]

$R$ е функция на $h$:
[tex]R(h) = \frac{ h^{2 } - 2h + 2 }{2(h - 2)}[/tex]

Д.М. [tex]h \ne 2, h>0[/tex]

[tex]R'(h) = \frac{ h^{2 } - 4h + 2 }{2( h - 2)^{2 } }[/tex]

[tex]R'(h) = 0 \Leftrightarrow h^{2 } - 4h + 2 = 0 ,D= 8 ,h_{1,2 } = 2 \pm \sqrt{2}[/tex]

За [tex]h = 2 \pm \sqrt{2}[/tex] функцията има екстремум

[tex]h^{2 } - 4h + 2 = [h - (2 - \sqrt{2})][h - (2 + \sqrt{2})] \ge 0[/tex]

За [tex]h \in (0;2 - \sqrt{2} )[/tex] функцията $R(h)$ расте и за [tex]h = 2 - \sqrt{2}[/tex] притежава максимум

За [tex]h \in (2 - \sqrt{2};2) \cup (2;2 + \sqrt{2} )[/tex] функцията $R(h)$ намалява и за [tex]h = 2 + \sqrt{2}[/tex] притежава минимум

[tex]R_{min } = R(2 + \sqrt{2}) = \frac{ (2 + \sqrt{2} )^{2 } - 2(2 + \sqrt{2}) + 2 }{2(2 + \sqrt{2} - 2) } = \frac{4 + 4 \sqrt{2} + 2 - 4 - 2 \sqrt{2} + 2 }{2 \sqrt{2} } =[/tex]

[tex]= \frac{2( \sqrt{2} + 2) }{2 \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{2} + 2 }{ \sqrt{2} } = 1 + \frac{2}{ \sqrt{2} } = 1 + \sqrt{2}[/tex]
$$R_{min } = 1 + \sqrt{2} $$

[KOPMOPAH]

...

Подробно и с чудесни чертежи.

Скрит текст: покажи