Конус

[Евва]

В конус е вписана сфера , повърхнината на която е равна на лицето на основата на конуса .
В какво отношение се дели околната повърхнина на конуса от окръжността , получена при
допирането му със сферата ?

[S.B.]

В конус е вписана сфера , повърхнината на която е равна на лицето на основата на конуса .
В какво отношение се дели околната повърхнина на конуса от окръжността , получена при
допирането му със сферата ?

Без заглавие - 2021-10-10T074225.636.png (272.84 KiB) Прегледано 282 пъти

Означавам $R$ - радиус на сферата, $r$ - радиус на основата на конуса, $l$ - образувателна на конуса ,[tex]\angle ABC = \alpha[/tex]
Разглеждам сечението $ABC$ на конуса :
[tex]S_{сфера } = 4 \pi R^{2 } , B_{осн. } = \pi r^{2 }[/tex]

От [tex]S_{сф. } = B_{осн. } \Leftrightarrow 4 \pi R^{2 } = \pi r^{2 } \Rightarrow r = 2R[/tex]

От [tex]\triangle PBO \rightarrow BO = R \sqrt{5} ,\sin \frac{ \alpha }{2} = \frac{ \sqrt{5} }{5},\cos \frac{ \alpha }{2} = \frac{2 \sqrt{5 } }{5}[/tex]

[tex]\angle ABC = \alpha \Rightarrow \sin \alpha = 2. \frac{ \sqrt{5} }{5}. \frac{2 \sqrt{5} }{5} = \frac{4}{5} ,\cos \alpha = \frac{3}{5}[/tex]

От [tex]\triangle PBC \rightarrow \frac{PB}{BC} = \cos \alpha \Leftrightarrow \frac{2R}{l} = \frac{3}{5} \Rightarrow l = \frac{10R}{3}[/tex]

[tex]S_{кон. } = \pi .r .l \Rightarrow S_{кон. } = \frac{20}{3} \pi . R^{2 }[/tex]

[tex]CN = l_{1 } = l - 2R \Rightarrow l_{1 } = \frac{4}{3}R[/tex]

От [tex]\triangle QNC \rightarrow \frac{QN}{CN} = \cos \alpha \Leftrightarrow \frac{ r_{1 } }{ l_{1 } } = \frac{3}{5} \Leftrightarrow r_{1 } = \frac{3}{5}. \frac{4}{3} R \Rightarrow r_{1 } = \frac{4}{5}R[/tex]

Повърхнината на конуса $MNC$ :[tex]S_{MNC } = \pi. r_{1 }. l_{1 } = \frac{16}{15} \pi R^{2 }[/tex]

Повърхнината на пресечения конус $ABNM$ :[tex]S_{ABNM } = S_{ABC } - S_{MNC } = \frac{20}{3} \pi. R^{2 } - \frac{16}{15} \pi . R^{2 } = \frac{21}{5} \pi . R^{2 }[/tex]

[tex]\displaystyle\frac{ S_{MNC } }{ S_{ABNM } } = \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{16}{15} \pi . R^{2 } }{\displaystyle \frac{21}{5} \pi. R^{2 } } = \displaystyle \frac{16}{63}[/tex]

Скрит текст: покажи

Идеята е ясна, а ако съм оплела някъде сметките - тази вечер ще ги поправя,защото сега бързам.

[S.B.]

Повърхнината на пресечения конус $ABNM$ :[tex]S_{ABNM } = S_{ABC } - S_{MNC } = \frac{20}{3} \pi. R^{2 } - \frac{16}{15} \pi . R^{2 } = \frac{21}{5} \pi . R^{2 }[/tex]

[tex]\displaystyle\frac{ S_{MNC } }{ S_{ABNM } } = \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{16}{15} \pi . R^{2 } }{\displaystyle \frac{21}{5} \pi. R^{2 } } = \displaystyle \frac{16}{63}[/tex]

КОРЕКЦИЯ:
[tex]S_{ABNM }= S_{ABC } - S_{CNM } = \frac{20}{3} \pi R^{2 } - \frac{16}{15} \pi R^{2 } = \frac{28}{5} \pi R^{2 }[/tex]

[tex]\displaystyle\frac{ S_{MNC } }{ S_{ABNM } } = \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{16}{15} \pi R^{2 } }{\displaystyle \frac{28}{5} \pi R^{2 } } =\displaystyle \frac{4}{21}[/tex]