Кръстосани прави в правилна триъгълна пирамида

[Гост]

Здравейте. Госпожата ми каза да реша тази задача за да ми пише по-висока оценка, но аз тези задачи не ги разбирам. Даже не знам как се назовават ъгли в тази стереометрия, а госпожата ме е нарочила... Благодаря за помощта хора

Докажете, че ако АВСМ е правилна триъгълна пирамида, то правите:

а) АВ и СМ
б) ВС и АМ
в) АС и ВМ
са кръстосани.

[peyo]

Здравейте. Госпожата ми каза да реша тази задача за да ми пише по-висока оценка, но аз тези задачи не ги разбирам.

Ок, много интересна логическа задача!

Според теб, госпожата ще ти пише по-висока оценка, ако ти решиш тази задача. Но ти не можеш да решиш тази задача. Следователно госпожата няма да ти пише по-висока оценка. С това мисля задачата е решена и няма парадокс.

[KOPMOPAH]

Във всяка триъгълна пирамида срещуположните ръбове лежат на кръстосани прави, а в правилната тези прави, съответно ръбове, са и ПЕРПЕНДИКУЛЯРНИ. Вероятно това се иска от теб да докажеш. Интересни задачи ви дава тази госпожа, бих искал да видя нейното доказателство.

[peyo]

В една триъгълна пирамида срещуположните ръбове изглежда очевидно да са кръстосани, но да се опитаме да го докажем, току виж не е вярно и те вземат, че се пресекат някъде в далечината!

Да видим следния чертеж:

geogebra-export(20).png (61.39 KiB) Прегледано 1511 пъти

Ще докажем, че правите образувани от AB и CM не се кръстосват никъде, със следното мислено построение:

Дa построим права A'B' успоредна на AB и минаваща през центъра на пирамидата. Да построим и права C'M' успоредна на CM съшо минаваща през центъра на пирамидата. Тези две нови прави се пресичат в центъра. Построяваме равнина R минаваща през тези две нови прави. Понеже тази равина е построена от прави успоредни на AB и CM, то тази равнина R не пресича тези прави никъде. Но сащо така правата АB е от едната страна на тази равнина, a правата CM от другата, следва няма начин правите AB и CM да се пресекат, с което твърдението е доказано.

[ptj]

По-принцип има няколко различни начиина за решение:
1. Чрез допълнителни построяния да покажеш перпендикулярност.
2.Чрез използване на вектпри и тяхното скаларно произведение
3.Построения водещи до някои симетрии
4. Чрез прилагането на някои вече известни теореми.

Първите 3 мисля, че ше са ти трудни, заради липсата на опит в подобни задачи.
Освен това учителката ти ще иска от теб показване на определени знания именно в областта Стереометрия и тяхното интерпретиране (прилагане в задачи) също.

Помисли коя е необходимата теорема- доказателството с нея е в рамките на две изречения.

[S.B.]

Здравейте. Госпожата ми каза да реша тази задача за да ми пише по-висока оценка, но аз тези задачи не ги разбирам. Даже не знам как се назовават ъгли в тази стереометрия, а госпожата ме е нарочила... Благодаря за помощта хора

Докажете, че ако АВСМ е правилна триъгълна пирамида, то правите:

а) АВ и СМ
б) ВС и АМ
в) АС и ВМ
са кръстосани.

Не знам защо всичките мои уважавани колеги решиха,че детето трябва да докаже,че правите са перпендикулярни?
В условието ясно е казано,че трябва да се докаже,че съответните прави са кръстосани
Определението за кръстосани прави гласи,че две прави са кръстосани,когато не лежат в една равнина.

а) $AB$ и $CM$
Правата [tex]AB \in (ABC)[/tex]ако допуснем ,че $CM$ не е кръстосана,то би трябвало [tex]CM\in (ABC) \Rightarrow M \in (ABC)[/tex]което противоречи на условието,че $MABC$ е пирамида [tex]\Rightarrow AB[/tex] и $CM$ не лежат в една и съща равнина [tex]\Rightarrow[/tex] са кръстосани.
б) и в) се доказват по същия начин

[ptj]

Да, аз наистина не съм обърнал внимание на последния ред от условието (обикновено чета първо предложените решения), но то не променя съществено решението:

(*): Една права е перпендикулярна на дадена права, тогава и само тогава, когато нейната ортогонална проекция също е перпендикулярна на дадената права.
Конкретно за тази задача, за всеки ръб на пирамидата:
Неговата ортогонална проекция в равнината определена от останалите три ръба е височина(,медиана и ъглополовяща) в равностранен триъгълник. Тъй като ортогоналната проекция е различна (не лежат в една равнина) от дадената права, то тя не пресича срещуположния ръб.

Малко разяснение: Права и точка определят напълно една равнина, а всяка точка в равнината има единствена пета на перпендикуляр към произволна права в равнината (следствие от 5-та аксиома).

В случай, че не сте разбрали напълно написаното,
Ви давам пример за решение спрямо два от срещуложните ръбове:

Нека вземем ръбовете [tex]AB[/tex] и [tex]CM[/tex].
Нека [tex]CD[/tex] e височина в [tex]\triangle ABC[/tex].
От теоремата (*)[tex]\Rightarrow AB \bot CM[/tex].
От т.[tex]C[/tex] към [tex]AB[/tex] има единствен перпендикуляр, а неговата пета е точка [tex]D[/tex].
От последния ред следва, че ако [tex]AB[/tex] и [tex]CM[/tex] се пресичат, то единствената възможност за това е т.[tex]D[/tex] (заради перпендикулярността).
Горния ред е в противоречие с различието (несъвпадането) на правите [tex]CM[/tex] и [tex]CD[/tex],
защото [tex]т.M\notin (A,B,C)[/tex] докато [tex]C,D \in (A,B,C)[/tex].

П.П. Решението на [tex]S.B.[/tex] е вярно и естествено много по-кратко.
Моето показва едновременно перпендикулярност и кръстосаност (малко повече от това, което се иска).