Обем на кълбо

[S.B.]

В правилна четириъгълна пирамида,двустенният ъгъл между две съседни околни стени е [tex]\varphi[/tex],а височината на пирамидата е $h$.Да се намери обема на вписаното в пирамидата кълбо.

[nikola.topalov]

Разглеждаме правилната четириъгълна пирамида [tex]ABCDM[/tex] с основа [tex]ABCD[/tex]. Нека [tex]O[/tex] е ортогоналната проекция на върха [tex]M[/tex] върху равнината [tex](ABCD)[/tex] и [tex]N[/tex] е среда на [tex]BC[/tex]. Тогава [tex]\sphericalangle ONM=\varphi[/tex] и [tex]OM=h[/tex]. Ако [tex]NI[/tex] ([tex]I\in OM[/tex]) е ъглополовящата на [tex]\sphericalangle ONM[/tex], то радиусът на вписаното кълбо в пирамидата е [tex]OI=\dfrac{h\tg\dfrac{\varphi}{2}}{\tg\varphi}[/tex] и [tex]V=\dfrac{4\pi h^3\tg^3\dfrac{\varphi}{2}}{3\tg^3\varphi}[/tex].

[S.B.]

Разглеждаме правилната четириъгълна пирамида [tex]ABCDM[/tex] с основа [tex]ABCD[/tex]. Нека [tex]O[/tex] е ортогоналната проекция на върха [tex]M[/tex] върху равнината [tex](ABCD)[/tex] и [tex]N[/tex] е среда на [tex]BC[/tex]. Тогава [tex]\sphericalangle ONM=\varphi[/tex] и [tex]OM=h[/tex]. Ако [tex]NI[/tex] ([tex]I\in OM[/tex]) е ъглополовящата на [tex]\sphericalangle ONM[/tex], то радиусът на вписаното кълбо в пирамидата е [tex]OI=\dfrac{h\tg\dfrac{\varphi}{2}}{\tg\varphi}[/tex] и [tex]V=\dfrac{4\pi h^3\tg^3\dfrac{\varphi}{2}}{3\tg^3\varphi}[/tex].

Без заглавие - 2021-12-14T173124.335.png (217.87 KiB) Прегледано 346 пъти

[tex]\angle ONM[/tex] е ъгъл между основата на пирамидата и околната стена $(BCM)$ и той не е даденият по условие [tex]\angle \varphi[/tex]
По условие [tex]\angle \varphi[/tex] е ъгъл между ДВЕ СЪСЕДНИ ОКОЛНИ СТЕНИ
Ще Ви дам Жокер:
На чертежа [tex]\angle \varphi = \angle BPD[/tex]

[Гост]

проектиране на околна стена върху осно сечение и равнина П, перпендикулярна на основата

v.PNG (59.05 KiB) Прегледано 297 пъти

[S.B.]

В правилна четириъгълна пирамида,двустенният ъгъл между две съседни околни стени е [tex]\varphi[/tex],а височината на пирамидата е $h$.Да се намери обема на вписаното в пирамидата кълбо.

Без заглавие - 2021-12-16T213013.780.png (438.44 KiB) Прегледано 255 пъти

Не е удобно да се работи с ъгъл между две съседни околни стени,за това ще изразя ъгъла който сключва околния ръб с основата чрез него:
Нека [tex]AB = a , MB = l , M_{2 }M = k , \angle MCO = \alpha[/tex]
[tex]PB \bot CM,PD \bot CM \Rightarrow MC\bot (BPD) \Rightarrow CM \bot PO[/tex]
[tex]\triangle DBP[/tex] е равнобедрен, $PO$ е ъглополовяща, височина и медиана.
[tex]\triangle POB[/tex] е правоъгълен ,[tex]\frac{PO}{OB} = \cotg \frac{ \varphi }{2} \Leftrightarrow \cotg \frac{ \varphi }{2} = \frac{OP}{ \frac{a \sqrt{2} }{2} }[/tex]
[tex]\triangle OCP[/tex] е правоъгълен ,[tex]\frac{OP}{OC} = \sin \alpha \Leftrightarrow \sin \alpha = \frac{OP}{ \frac{a \sqrt{2} }{2} }[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] $$\sin \alpha = \cotg \frac{ \varphi }{2}$$
От [tex]\triangle OCM \rightarrow \frac{OM}{CM} = \sin \alpha \Leftrightarrow \sin \alpha = \frac{h}{l} \Leftrightarrow l = \frac{h}{\sin \alpha } = \frac{h}{\cotg \frac{ \varphi }{2} } \Rightarrow[/tex]
$$ l = h\tg \frac{ \varphi }{2}$$
От[tex]\triangle OMC[/tex] по Питагор: [tex]l^{2 } - h^{2 } = ( \frac{a \sqrt{2} }{2}) ^{2 } \Rightarrow[/tex]
$$a = h \sqrt{2} \sqrt{\tg^{2 } \frac{ \varphi }{2} - 1} $$
От [tex]\triangle OMM_{2 }[/tex] по Питагор :[tex]MM_{2 } ^{2 } = h^{2 } + ( \frac{a}{2}) ^{2 } \Leftrightarrow k^{2 } = h^{2 } + \frac{ a^{2 } }{4} \Rightarrow[/tex]
$$k = \frac{h \sqrt{2} }{2} \sqrt{ \tg^{2 } \frac{ \varphi }{2} + 1 } $$
[tex]\triangle M_{1 } M_{2 }M[/tex] е сечението на пирамидата с равнина минаваща през апотемите [tex]M M_{1 }[/tex] и [tex]M M_{2 }[/tex]
[tex]\triangle JTM \approx \triangle O M_{2 }M[/tex] (по първи признак)
[tex]\frac{JT}{O M_{2 } } = \frac{MJ}{M M_{2 } } \Leftrightarrow \frac{r}{ \frac{a}{2} } = \frac{h - r}{k }....[/tex]
$$r = \frac{ah}{2k - a} $$
Замествам $a$ и $k$ с получените изрази преработвам и получавам:
$$r = \frac{h \sqrt{ \tg^{2 } \frac{ \varphi }{2} - 1 } }{2} ( \sqrt{ \tg^{2 } \frac{ \varphi }{2}+ 1 } - 1)$$
[tex]V = \frac{4}{3} \pi r^{3 } = .......[/tex]

Скрит текст: покажи

Сметките са доста хамалски,така,че вероятността за грешки е голяма,но идеята е ясна